你還記得在中學學習函數時背過的一個口訣嗎?
“左加右減,上加下減”。
這個口訣描述的是函數圖像平移時解析式的變化情況。
這句話的意思是:
左加右減指的是如果函數圖像往左(右)平移個單位,則自變量加(減).
上加下減指的是如果函數圖像往上(下)平移個單位,則常數項加(減).
如果你忘記了,我們來復習一下:以最簡單的二次函數為例,如果將它向左平移4個單位,再向上平移2個單位,根據口訣“左加,上加”可以得到新的函數解析式
實際上,根據二次函數頂點的平移我們能夠比較容易理解這件事。原函數的頂點為點,而由于函數平移后頂點也隨之平移,變為了點,則根據二次函數的頂點式便能夠寫出新的函數解析式
二次函數可以根據頂點的平移來理解,那么對于一般的函數而言這個規則是否也成立呢?
在回答這個問題之前,請你回想一下中學時學習函數的心路歷程,想必以前你有過這樣的疑問:對于平面直角坐標系而言,朝上是軸正方向,那么既然存在“上加下減”的說法,直覺告訴我們對于朝右的軸正方向,相對應地應該是“右加左減”才對。這到底是怎么一回事呢?
其實,這是學習中學數學時一個常見的誤區,我們不能簡單地認為“上加下減”是因為軸正方向朝上。
我們應從如下角度去理解:首先,對上述新函數變換如下
這里可以看作是自變量,因變量,而對于函數圖像來說,分別對應向軸負方向平移4個單位和向軸正方向平移2個單位。所以,這里其實并不矛盾,我們可以歸納出一般結論:
- 向軸負(正)方向平移,對于自變量來說是加(減),即左加右減。
- 向軸負(正)方向平移,對于因變量來說是加(減),即下加上減。
舉個不恰當的例子,比如對于拋物線
說它不恰當,是因為它不滿足函數的定義。不過我們依然可以根據這個規則去討論它的平移。若將它向左平移4個單位,再向上平移2個單位,則根據上述規則可得到新的拋物線方程:
討論到這里,你是否還是有疑問:為什么偏偏對于正方向而言是減,對于負方向而言是加呢?這和我們的認知依然是矛盾的。
我們以一個一般的函數為例,對于函數來說,將它向右平移個單位得到函數.
則原函數上的任意一點
經平移得到了點
因此
即
即
也就是說在新的函數解析式中,自變量會減去,這也即為“右減”。
通俗地說,對于坐標軸上的點,往右移動會使得的數值增加,而為了抵消這個增加量,函數里的自變量本身也要扣除相應的增加量,對于上下方向的軸也是同理。
你現在明白“左加右減,上加下減”的真正含義了嗎?