含三角函數的導數與微分（三角函數在無窮上的積分）
在數學、物理學和工程力學等諸多領域，矢量是很一個重要的概念。簡單的去理解它，就是帶方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力學領域，兩個不方向的量，其性質可能會有本質的區別。比如下圖：
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這是一個對曲桿進行內力分析的微分單元。
在這個微分單元的左側，對于軸力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2構成剪切力的合力；而剪切力Q也一樣，其在軸向上的分矢量Q*sin θ/2，和軸力N的分矢量N*cos θ/2構成軸力的合力。
在這個微分單元的右側，是對左側進行一個微增量后的結果。比如，軸力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲桿的微弧長dl。對于dN，仍然要進行矢量分割，dN*sin θ/2計入剪切力，dN*cos θ/2計入軸力。最終求積的微分中一定會有這樣的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。
從某種意義上說，微積分本身就是應曲線研究而生的。曲線微增量dl是無法取值的，只能轉換成dl=rdθ，再換算成X軸和Y軸的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。這使得我們在用微分積解決問題時，非常大的概率會遇到三角函數求導數或求積分。
可以說，三角函數是微積分中最重要的基本函數，在十六個簡單導數中它占了十個之多。
既然明確了三角函數的重要性，那我們不妨進一步了解一下這十個簡單導數的求導過程。
1、正弦函數y=sin x;
(sin x)’=lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h
=lim(h→0)[2cos (x+h/2)*sin h/2]/h
=lim(h→0)cos (x+h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]
=cos x
2、余弦函數y=cos x;
(cos x)’=lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h
=lim(h→0)[-2sin (x+h/2)*sin h/2]/h
=lim(h→0)[-sin (x+h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]
=-sin x
3、正切函數y=tg x;
(tg x)’=(sin x/cos x)’
=[(sin x)’*cos x-sin x*(cos x)’]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
4、余切函數y=ctg x;
(ctg x)’=(cos x/sin x)’
=[(cos x)’*sin x-cos x*(sin x)’]/sin^2 x
=-(sin^2 x+cos^2 x)/sin^2 x
=-1/sin^2 x
=-csc^2 x
5、正割函數y=sec x;
(sec x)’=1/cos x
=[(1)’*cos x-1*(cos x)’]/cos^2 x
=sin x/cos^2 x
=sec x*tg x
6、余割函數y=csc x;
(csc x)’=1/sin x
=[(1)’*sin x-1*(sin x)’]/sin^2 x
=-cos x/sin^2 x
=-csc x*ctg x
7、反正弦函數y=arc sin x;
因為y=arc sin x是x=sin y的反函數，所以有，(arc sin x)’=1/(sin y)’=1/cos y。接下來，我們把余弦cos y轉換成正弦sin y，并進一步轉換成x。
因為，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=1/√(1-x^2)。
8、反余弦函數y=arc cos x;
因為y=arc cos x是x=cos y的反函數，所以有，(arc cos x)’=1/(cos y)’=-1/sin y。接下來，我們把sin y轉換成余弦cos y，并進一步轉換成x。
因為，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=-1/√(1-x^2)。
9、反正切函數y=arc tg x;
因為y=arc tg x是x=tg y的反函數，所以有，(arc tg x)’=1/(tg y)’=1/sec^2 y。接下來，我們把sec y轉換成余弦tg y，并進一步轉換成x。
因為，sec^2 y=1+tg^2 y，所以有，(arc tg x)’=1/√(1+x^2)。
10、反余切函數y=arc ctg x;
因為y=arc ctg x是x=ctg y的反函數，所以有，(arc ctg x)’=1/(ctg y)’=-1/cec^2 y。接下來，我們把cec y轉換成余弦ctg y，并進一步轉換成x。
因為，cec^2 y=1+ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)’=-1/(1+x^2)。
有這十個三角函數的導數做基礎，再也不用擔心曲線分析了。
