微分理論是由牛頓創立的積分理論是由萊布尼茨創立的（牛頓的微積分和萊布尼茨的微積分）

接觸過微積分的同學們都應該知道微積分基本定理——牛頓-萊布尼茲公式：

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這個定理表述的是，一個函數在一段區間內的積分等于另一個函數在這個區間兩端函數值的差。這個定理拓展到二維空間就是格林公式：

即一個二元函數在由封閉曲線C圍成的區域上的面積分等于一個向量場在該曲面邊界上的線積分。格林公式更為一般的形式是

該式一般被叫做斯托克斯定理，描述的是三維空間中面積分與線積分之間的關系。而三維空間中與格林公式相對應的是高斯定理：

其所表述的是，一個三元函數在一個密閉區域內的體積分等于一個向量場在這個區域邊界上的面積分。

以上這幾種定理本質上都是微積分基本定理在不同維度空間中的變體，即三維的積分可轉化為二維的積分，而二維的積分可轉化為一維的積分，一維的積分最后轉化為零維的加減。但如何將這幾種定理從形式上進行統一，從而推廣到更高維度的空間中呢？

我們希望的形式應該是

即如果有以下等式成立：

我們就能從形式上統一不同維度的微積分基本定理，而這其中的關鍵在于定義微分運算d。我們所熟知的微分運算就只有全微分，對于一個三元函數f(x,y,z)，其全微分為：

我們把等式右邊稱作微分形式，注意該微分形式恰好是一個函數的全微分，但更為一般的微分形式Pdx+Qdy+Rdz不一定能夠寫成一個函數的全微分。對于一般的微分形式，我們能不能進一步做微分運算呢，就如同我們剛才設想的那樣？類比全微分，我們先假設微分運算d只對函數有效，對微分分量dx、dy等無效，那么

為了得到期望中的結果，我們需要定義運算dx*dx和dy*dy的結果為零，而運算dy*dx則等于－dx*dy，這樣的一種運算我們把它叫做外微分，微元之間的乘積*通常用∧表示，如此就得到Pdx + Qdy的外微分為

微元之間的楔積∧類似向量之間的叉積，交換次序會易號，因此同一微元之間的楔積為零。同學們可以繼續驗證其他微分形式的外微分。引入外微分的概念后，我們就能從形式上統一前面說的幾種不同維度的微積分基本定理。

令η=F，則牛頓-萊布尼茲公式就可寫成：

令η=Pdx+Qdy+Rdz，則斯托克斯定理就可寫成：

令η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy，則高斯定理就可寫成：

我們稱Pdx+Qdy+Rdz為一階微分形式，稱Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy為二階微分形式，稱(Px+Qy+Rz)dx∧dy∧dz為三階微分形式，而函數F本身則為零階微分形式。在三維空間中，零階的外微分是一階微分形式，一階的外微分是二階微分形式，二階的外微分是三階微分形式，但三階的外微分又會回到零階，因為我們限制在了三維空間，只有在三維以上時，三階的外微分才是四階微分形式。

前面我們提到，微元之間的楔積運算非常類似向量之間的叉積運算，實際上外微分與矢量場微分運算之間就存在著某種對應關系，因為矢量場可以看作是一階微分形式：

從這個角度看，標量場的梯度就對應著該標量場的一階微分形式：

而矢量場的旋度則對應著與該矢量場等同的一階微分形式的外微分：

矢量場的散度則對應著與該矢量場等同的二階微分形式的外微分：

這里矢量場不用一階微分形式而是用二階微分形式代替，因為在三維空間中，一階微分形式和二階微分形式存在對偶關系：

而三階微分形式與零階微分形式對偶，即

我們可以如下定義對偶運算：

兩次對偶就相當于恒等運算。

引入了外微分和對偶運算之后，我們就能讓矢量場的微分運算變得非常簡單：

因此矢量之間的叉積就等同于相應的兩個一階微分形式的楔積的對偶：

同樣地，三個向量的混合積就等同于相應的三個一階微分形式的楔積的對偶：

我們所熟知的梯度場的旋度為零、旋度是無源場其實就是：

說了這么多，那么外微分到底有什么幾何意義呢？

從二維形式的斯托克斯定理來看，為了計算一個環線上的積分，我們可以將該環線不斷拆分，拆分成無數個小環線的積分，每個環線之間存在重合但正好是相反的路徑，因此相互抵消。這樣，邊界上的環線積分就轉變為環線內部無數個小的環線積分的加和。每個小的環線積分可視為一個矩形微元上的環線積分（如下圖所示），可以很容易計算出來：

也就是說，邊界上的線積分某種程度上變成了另一種強度量的面積分：

這種強度量即單位面積內的環線積分，它表征了矢量場的旋轉強度分布，也就是通常所說的旋度：

高斯定理也是同樣的道理，一個封閉面上的矢量通量積分可以拆分成無數個內部小的封閉面上的矢量通量積分，而這些小的封閉面內部之間是相互重疊的，但方向是相反的，因此在累加的時候相互抵消，最終只剩下外部的面。這些小的封閉面圍成一個個小的體，也就是說邊界的通量積分最后轉變為內部的某種強度量的體積積分，這種強度量實際上是邊界通量積分的縮影（如果我們把邊界通量積分除以這個邊界所包圍的體積，就能得到這種強度量的平均值），即邊界無限縮小時單位體積的邊界通量積分。它表征的是矢量場的聚散強弱分布，即通常所說的散度。

我們重新審視一下矩形微元上的環線積分過程，這一過程就相當于在做外微分運算，也就是說，外微分運算就是把一個區域做無限剖分，得到其局部區域內的結果，然后整體求和的過程，這個過程和函數的微分運算如出一轍。一個函數在一個區間兩端的差值是和其在該區間內的局部變化是息息相關的，而每個局部變化都可以用微分的形式來刻畫，最后，函數在區間兩端的差值就變成該函數在該區間內的微分形式的積分：

對比來說，二元函數的外微分就描述了其在二維空間的局部變化細節，三元函數的外微分就描述了其在三維空間的局部變化細節。相對標量場而言，矢量場的特征就比較復雜了。矢量有疏密聚散，有曲折旋轉，三維空間中的矢量場有兩種微分形式，一階微分形式的外微分就描述了矢量場在空間中曲折旋轉的局部細節，二階微分形式的外微分則描述了矢量場在空間中疏密聚散的局部細節。

我們再來看看外微分的幾何表示。我們先從最熟悉的全微分入手。一個二元函數的全微分即：

其刻畫了函數f在二維空間中的分布。但上面這個式子只是顯式地把f沿著x方向和y方向上的變化表示出來了，而其他方向上的變化并未給出。其實我們沒有必要將每個方向的變化都表示出來，因為每個方向總能用空間的一組基方向表示出來（比如這里用x和y方向作為基方向）。如果我們想要知道某個方向的變化，比如一條有向曲線L上的變化，我們只要將全微分分解到該方向就行了。曲線L可以表示成：

對其全微分，則有

前面我們說過，一階微分形式對應著一個向量，因此這個方程實際上表示的就是曲線L的方向。下面就是將df按照這個方向進行分解。注意到該方向上的微元dl如果用dx和dy來表示，則應該是

因此

這樣就能得到f在任意一個方向上的變化了。

當全微分為零時，即df=0時，它勾勒的是f不發生變化的那些方向所組成的曲線簇。在某個方向上對df進行積分就等同于在橫跨這些曲線簇，積分的大小和所橫跨的曲線數目有關。如果積分路徑是一個閉環，那么結果顯然為零。如果一個一階微分形式不能表示成某個函數的全微分，如：

我們仍然可以把w=0當作一堆曲線簇來處理。比如矢量場P=x+y,Q=y-x對應的曲線簇如下圖所示。

但這時的線簇不再等同于df=0時的線簇，因為d(df)=0總是成立，但dw=0并不總是成立。也就是說，如果將df視為一層層的面（也就是等值線簇），那么d(df)=0就表示每層的面之間沒有什么厚度的區別。但對于w來說，其不同層的面之間是有厚度區別的，而dw就是在描述這些面簇厚度變化的細節。如果線簇之間沒有粗細之分，那么路徑積分就相當于這條路徑所穿越的線簇數，但如果線簇之間有粗細區別，那路徑積分就應當還包括把這種粗細疊加進去的效應，此時我們不僅需要考慮線簇在分布上的疏密，還要考慮其局部的粗細，最終決定曲線積分大小的是路徑所穿越的線簇厚度的總和。

對于全微分df來說，線簇在某處的疏密程度直觀地反映了該處矢量場（即梯度）模的大小，但對于一般的一階微分形式w來說，線簇的疏密程度并不反映相應的矢量場模的大小。

如上圖所示，左圖是df，右圖是w（箭頭代表矢量場，曲線分別代表df=0和w=0）。左圖中可以看到，線簇的疏密程度與箭頭的長短（矢量的絕對值）呈正比，因此該矢量場內的線積分等同于積分路徑穿越的線簇數。而右圖中，線簇的疏密程度卻與箭頭的長短呈反比。為了直觀反映外微分的結合特征，就需要對線簇進行改造，我們可以將線簇分割成一片片的小線段，在需要密的地方多擺放一些，而在需要疏的地方少擺放一些。這樣一來，曲線積分就仍能從路徑穿越的線簇數上直觀地反映出來，就如同下圖所示的那樣。