由庫侖定律可以得到靜電場的哪些定律?（由庫侖定律推導高斯定理）
在經典電磁學的世界里，我們可以通過四個基本方程（即麥克斯韋方程）來理解電與磁之間的相互作用。這些方程最初是由詹姆斯-克拉克-麥克斯韋在19世紀得出的，發表在他著名的論文《論物理力線（On Physical Lines of Force）》中，作為對邁克爾-法拉第關于電磁學的所有經驗觀察的回應，這些方程構成了現代電信、電路等的基礎。推導麥克斯韋方程并非易事，但對于物理學和電氣工程專業的學生，或者任何喜歡看數學運算的人來說，這是非常不錯的。在這篇文章中，我將介紹推導其中一個方程的數學方法，也被稱為 “高斯電場定律”，數學上寫為：
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它告訴我們關于電場的信息。
我們將從庫侖定律來開始我們的推導。讓我們考慮空間中的兩個電荷，即q1和q2。從經驗觀察中得知，這種電荷之間的靜電力與它們之間的距離的平方成反比，與兩個電荷的乘積成正比。我們可以把它寫成公式（1）如下：
- 式1
其中k是一個常數，與介質的介電常數有關。
- 式2
矢量r12實際上是電荷1和2的位移矢量之差，或者簡單地說：
- 式3
使用單位矢量的定義為：
- 式4
我們現在把庫侖力項寫成：
- 式5
現在，根據牛頓第三定律，我們知道，力有大小相等方向相反的反作用力，因此我們可以寫出：
- 式6
此外，由于電場E對電荷q施加的力被定義為F=qE。因此，我們將電場表示為：
- 式7
這實際上意味著什么呢？它意味著電荷q2對電荷q1所產生的電場E1只取決于q2的大小。這個符號可能看起來很混亂，但我們可以記住這一點，因為電場應該總是從正電荷向外指向，因此如果我們測量正電荷q2周圍的電場，那么電場線將沿著矢量r12指向（即從q2指向q1）。很多教科書都喜歡把這個符號去掉，而寫成：
- 式8
但必須注意避免混淆。因為來自正點電荷Q的電場線是徑向向外的（對于負電荷來說向內），所以電場具有完美的球形對稱性。根據牛頓第二定律（F=ma），我們知道作用在物體上的凈力是所有作用在物體上的力的總和，在電荷情況下，我們可以輕松寫出：
- 式9
通過同樣的推理，我們可以把某個任意空間中所有電荷所產生的總電場寫為：
- 式10
因此，在沒有任何其他力的情況下，電場總是沿著力的方向。這個相當微不足道的發現得出了一個更重要的結果：如果我們用一個連續的電荷量來代替離散的電荷空間q，稱為電荷密度(r)，單位為C/m^3（注意，電荷是一個離散的量，但對于大量的電荷，我們可以用積分來近似求和），我們把從位置r出發的所有坐標r ‘的積分寫出來：
- 式11
因此，只要我們知道電荷密度函數(r)是什么，就有可能計算出任何電荷分布引起的電場。
現在我們已經得出了電場E(r)作為連續電荷密度(r)的函數的一般表達式，我們可以開始思考對E(r)進行數學運算時會發生什么。例如，讓我們把公式(11)中的場的散度作為例子
- 式12
方程右側的散度算子可以自由地放在三重積分的內部或外部，因為散度和積分算子都是線性的（例如，如果你把積分看成是一個和，那么一堆函數之和的發散與那一堆函數的發散之和相同）。我們注意到，由于散度算子是相對于r而不是r’作用的，所以函數(r’)可以移到散度算子之外，即我們把方程改寫為：
- 式13
現在，我們要解決這個問題，只需知道散度項：
- 式14
被化簡成什么。為了做到這一點，我們將援引散度定理，即
- 式15
這基本上意味著某個函數的散度的體積積分與該函數沿一組法向量n的表面積分相同，這些法向量總是垂直于表面元素dS。現在假設我們選擇一個半徑為R的球體，那么就會發現，表面的單位法向量總是從球體的徑向向外指向，這樣就可以寫出：
另外|r-r’|=R。現在，球面坐標中的表面積元素為：
- 式16
這意味著散度積分化簡為：
- 式17
這個相當令人驚訝的結果有一個非常特殊的含義：式（14）中的散度項必須等于某個函數，該函數在被積分后等于常數4。具有這種性質的一個函數是狄拉克δ函數（Dirac-delta function），即：
- 式18
因此，這表明我們可以定義：
- 式19
得到的結果是：
- 式20
因此，我們現在得到了高斯定律的理想方程：
- 式21：高斯定律的微分形式
在微分形式中，這個方程告訴我們，通過一個無限小的空間體積的場E的量（我們把它表示為dV）等于該局部區域的電荷密度，除以自由空間的介電率。通過以積分形式觀察，可以獲得更好的理解：讓我們把兩邊相對于一個體積進行積分：
- 式22
右邊的積分只不過是體積V內的總電荷Q。然后，利用散度定理，我們把左邊的積分變成一個表面積分：
- 式23：高斯定律的積分
這里，場的總通量E等于表面S所包圍的電荷總量。為了證明這一點，我們將考慮以原點為中心的點電荷Q所產生的電場，其三維場在球面坐標中的方向是徑向向外的（這是我們之前用庫侖定律得出的表達式）：
- 式24
并選擇一個以原點為中心的固定半徑為R的球面，與之前相同的面元徑向向外：
我們得到：
這個定律最重要的結果是，不管我們把表面S放在電荷Q周圍的什么地方，電通量總是相同的，即使場線沒有與表面法向量對齊。因此，通過任意表面S的電通量只取決于所包圍的電荷Q。舉一個例子，假設我們有一個電荷在空間的離散分布，如Q=所有q的總和。那么，從它們周圍的一個任意封閉表面S出來的總電通量是：
- 式25：電通量
還應注意的是，表面內的負電荷會消除電通量。考慮一個由兩個相等和相反的電荷q和-q組成的簡單偶極子。對于它們周圍的任何任意表面，很容易表明凈電通量為零
然而，如果我們通過在每個電荷周圍放置兩個互不相干的表面來計算其周圍的總電通量，我們就會發現，這些電通量將是大小相等方向相反的，即：
因此，由n個子區域組成的區域Ω中的總電通量，都被圍在Ω內，只不過是該區域內所有單個電通量的總和。
- 式26
高斯的電場定律推導到此結束。
