中考數(shù)學(xué)難題往往都和相似三角形有關(guān)，而求線段的比也經(jīng)常會成為選擇、填空的壓軸小題。這類題的常規(guī)解法是添加輔助線，構(gòu)造A字型和8字型相似，再利用相似比或者平行線分線段成比例的原理進行求解。
而如何構(gòu)造輔助線這是一個難點，很多同學(xué)無法突破，即便作出了輔助線，有時想準(zhǔn)確地找到比例關(guān)系也是難事，最終只能放棄。
下面這道中考真題，同學(xué)們可以先自己做一下，感受下此類題的難度，能做對的同學(xué)很不錯，做不好也沒關(guān)系，后面會有具體的解答，而且這種方法非常簡單，最重要的是，每個同學(xué)都可以輕松掌握！
用杠桿原理求線段比 例4
那么，這類題我們有沒有更好的解決辦法呢？當(dāng)然有，而且這種方法連輔助線都不用做。到底是什么樣的好方法呢？那就是物理學(xué)上的杠桿原理，我們可以利用杠桿原理輕松破解此類難題，甚至直接口算都可以。
同學(xué)們對杠桿原理應(yīng)該都很熟悉，如果忘記了，那我們就來一起復(fù)習(xí)下吧。
阿基米德“不證自明的公理”
杠桿原理簡介
杠桿原理雖然很有名，但是這是一個物理學(xué)上的知識，跟我們的相似比有何關(guān)系呢？下面，我們先結(jié)合兩個簡單的例子進行一個講解。
質(zhì)量法知識講解1
質(zhì)量法知識講解2
其實，我們只要搞清楚以上這兩個問題，就可以解決此類數(shù)學(xué)問題了。
杠桿原理，本質(zhì)上是一種平衡關(guān)系，研究的是力和力臂之間的一種關(guān)系。我們可以把動力和阻力理解為線段AB兩端的兩個質(zhì)量相等或不等的小球，要使線段保持平衡狀態(tài)，根據(jù)杠桿原理，就需要滿足A、B兩端點到重心的距離與其質(zhì)量成反比。據(jù)此，我們便可得到線段之比，即AC/BC=b/a.
杠桿原理，也稱“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等。即：動力×動力臂=阻力×阻力臂。
由于，我們在A、B兩個端點處放置的是帶有質(zhì)量的小球，所以，也可以把這種方法稱為質(zhì)量法。
三角形的中線和重心
這種質(zhì)量法可以很好的解釋重心這個概念，證明中線的相關(guān)性質(zhì)。
- 三角形的三條中線交于一點，這一點是三角形的重心；
- 三角形的中線平分三角形的面積，三條中線分得的六部分面積相等；
- 三角形的重心把每條中線分成2:1的兩部分。
下面，我們就結(jié)合幾道經(jīng)典例題，來看下在中考中如何用質(zhì)量法去快速求解線段之比。
質(zhì)量法求線段比 例1
質(zhì)量法求線段之比 例1解答圖
質(zhì)量法求線段之比 例2
質(zhì)量法求線段之比 例2解答圖
例1、例2這兩道題都是中考模擬題，難度并不大，構(gòu)造一條輔助線就可以解決這兩題，但是，我們采用杠桿原理去解決這兩題，不但不需要做任何輔助線，而且可以快速口算得到答案。
質(zhì)量法求線段之比 例3
質(zhì)量法求線段之比 例3解答圖
例3這道題是一道自主招生題，稍微增加了一點難度，其實只不過是多了些步驟而已，與前兩題沒有本質(zhì)區(qū)別，同樣，我們可以用質(zhì)量法快速求解。
如果這幾題還不能顯示出物理學(xué)原理在解此類題的巨大作用的話，那么，下面這兩道例題將足以顯現(xiàn)出它的巨大優(yōu)勢！
質(zhì)量法求線段之比 例4解答圖1
質(zhì)量法求線段長度 例4解答圖2
例4這道題是四川涼山州中考真題，我們給出了質(zhì)量法和普通解法兩種方法，通過對比，我們可以明顯感受到質(zhì)量法的優(yōu)勢，不但簡單快速，而且直接有效，如果掌握此種方法，在中考中，便可幫助我們大大提高解題效率，做到事半功倍！
質(zhì)量法求線段之比 例5
質(zhì)量法破解相似三角形難題例5解答圖
例5這道題是一道比較老的經(jīng)典相似題，如果用普通方法去做，估計有很多同學(xué)會找不到思路，即使找到突破口，也需要做多條輔助線，利用多次相似比的轉(zhuǎn)化，然后，才能得到最終答案。
用質(zhì)量法便很容易求解，雖然過程也比較復(fù)雜，但是其實都是口算題，而且不需要作任何輔助線，所以，優(yōu)勢還是比較明顯的。
有時，多一種方法就多一條路，選對方法就會事半功倍，考場如戰(zhàn)場，我們要的不只是準(zhǔn)，有時更要快和狠！
