泰勒公式與微積分關(guān)系（泰勒公式與微分的關(guān)系）
01 開場白
自從我努力將所學(xué)知識以動圖的形態(tài)呈現(xiàn)給大家之后，我驚喜的發(fā)現(xiàn)我對知識點的理解變得更加的透徹了。這難道就是：
初高中學(xué)習(xí)是孩子處于青春期的階段，也是孩子學(xué)習(xí)當(dāng)中最關(guān)鍵的六年，因為它涉及到了中考與高考，左養(yǎng)中學(xué)教育賴頌強再講孩子的學(xué)習(xí)方法和考試心里調(diào)節(jié)的直播課里，系統(tǒng)的講解到如何幫孩子提升學(xué)習(xí)效率，提升考試時候的心理素質(zhì)，從而提升學(xué)習(xí)成績。
予人玫瑰，手留余香！
泰勒公式是非常非常重要的一個工具，同時也是不容易理解消化的知識點。如果你認為這篇文章講解的好，請分享給身邊的大學(xué)生，不管是親戚、朋友。
02 cos(x)在0點附近的泰勒分解
cos(x)
當(dāng)我們仔細觀察 g(x)=cos(x) 函數(shù)的時候，當(dāng) x=0 處的圖形和拋物線的圖形（紅色）相似度極高。
紅色拋物線的公式可表示如下：
拋物線公式
當(dāng) x=0 時，g(0)=cos(0)=1。 我們的目的是將拋物線 f(x) 和 cos(x) 的圖形盡量逼近。那么，在 x=0 時， f(0)=g(0)=1。
x=0處值
圖1：拋物線變換（一）
上圖所示，在我們定下 c=1的情況下，第二項中 a 的值將會對拋物線在 x=0 處切線斜率產(chǎn)生影響。cos(x) 在 x=0 出的圖形切線斜率為 0（紅線所示）。自然，我們也需要將拋物線在 x=0 處切線斜率逼近 0。
切線的斜率=切線函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)
一階導(dǎo)數(shù)
我們需要保證 f(x) 和 g(x) 在 x=0 處的切線斜率相等，那么 a=0。
圖2：拋物線變換（二）
上圖所示拋物線公式中 b 對于圖形形狀的影響。二階導(dǎo)數(shù)是個很抽象的概念，有的表達式 切線斜率的變化率。這并不方便記憶，所以我們可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義來幫助記憶。
- 路程 S 的一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng) 速度 V；
- 路程 S 的二階導(dǎo)數(shù)對應(yīng) 加速度 α；
圖3：拋物線變換（三）
我們分別在兩個圖形上定兩個小球，由于兩個圖形的一階導(dǎo)數(shù)（速度）為0，也就是初始速度都是0。之后，我們可以清楚的看到，紅色曲線上的小點運動加速度要大于藍色曲線上的小點。這就是 拋物線公式中 b 對整體的影響。
知道這一點后，我們就可以通過二階導(dǎo)數(shù)相等去求出 b 了。
二階導(dǎo)數(shù)
如上所示，2b=-1, b=-0.5。
所以拋物線的方程可以如下表示：f(x)=1 – 0.5 * x^2
圖4：拋物線變換（四）
03 結(jié)果驗證
我們得到了 cos(x) 在 x=0 處的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用該公式求cos(x)的近似值呢？
- 當(dāng) x=0.1時：
cos(0.1)=0.995994165
1 – 0.5 * x^2=0.995
- 當(dāng) x=0.5時：
cos(0.5)=0.877582562
1 – 0.5 * x^2=0.875
我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) x 的取值離 x=0 越來越遠，則誤差越來越大。從圖4中也能看出，藍色和紅色小球之間的距離越來越遠。
這不代表我們的公式有問題，是因為我們的公式推導(dǎo)過程本身就是基于 x=0 附近的點的近似求解。自然 x 的值里0點越遠越不準(zhǔn)。
那么怎么樣提高精度呢？我們可以不斷的在公式后面增加更高次冪的式子。
我們一起來看看我們不斷增加高次冪之后，兩個圖形的重合度有什么變化吧。
圖5：拋物線變換（五）
在 x 取別的值的時候，我們依然可以按照上述過程進行泰勒展開。當(dāng)我們 在 x=π 的時候做泰勒展開，圖形會如圖6般美妙。
圖6：拋物線變換（六）
泰勒公式通式：
泰勒公式
04 泰勒公式的幾何意義
圖7：泰勒公式幾何意義
那么，藍色、紅色和綠色的面積分別為多少呢？
也就是說，泰勒公式中
- 第一項為藍色的面積區(qū)域；
- 第二項為紅色的面積區(qū)域；
- 第三項為綠色的面積區(qū)域；
- 依次類推，不斷增進精度。
05 總結(jié)
理解知識才能熟練掌握，而將數(shù)學(xué)、幾何和物理融會貫通才能所向披靡。
這么辛苦寫了這篇文章，不關(guān)注點贊就過分了啊。
