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同底數冪相減 底數不變 指數

冪運算法則的逆向運用

冪運算法則指的是:

(1)同底數冪相乘,底數不變,指數相加,即a^m×a^n=a^(m+n);

(2)同底數冪相除,底數不變,指數相減,即a^m÷a^n=a^(m-n);

(3)冪的乘方,底數不變,指數相乘,即(a^m)^n=a^(mn);

(4)積的乘方等于乘方的積,(ab)^n=a^nb^n.

逆向運用這些法則就是:

(1)a^(m+n)=a^m×a^n,即指數和的冪等于同底數冪的積;

(2)a^(m-n)=a^m÷a^n;即指數差的冪等于同底數冪的商;

(3)a^(mn)=(a^m)^n;即指數積的冪等于冪的乘方;

(4)a^nb^n=(ab)^n,即同指數冪的積等于積的冪.

逆向運用冪運算法則可以解決一些具有一定難度的冪的問題.請看:

例1 已知2^a=6,2^b=3,

則2a-b+2=______.

分析與解:逆向運用冪運算法則,得:

2^(a-b+2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.

例2(2021·廣東中考題)

已知9^m=3,27^n=4,

則3^(2m+3n)=( )

A.1 B.6 C.7 D.12

分析與解3^(2m+3n)是指數積與和的冪,逆向運用冪的運算法則,把它化為冪的乘方及冪的乘積,得:

3^(2m+3n)=3^(2m)×3^(3n)

=(3^2)^m×(3^3)^n

=9^m×27^n=3×4=12,

故選D.

例3(2021·四川達州中考題)

已知a,b滿足等式

a^2+6a+9+√(b-1/3)=0,

則a^2021b^2020=___________.

分析與解:將已知等式變形,化為

(a+3)^2+√(b-1/3)=0,

由非負數性質,得:

a=-3,b=1/3,所以ab=-1,

所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020

=a×(ab)^2020=(-3)×(-1)^2020=-3.

例4 如果2^a=6,2^b=3,

則a-b等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

分析與解:因為a,b是冪的指數,欲求a-b的值,先考慮構造一個指數為a-b的冪,由于已知冪的底數為2,所以構造底數為2,指數為a-b的冪,然后再求它的值.

由已知,得:

2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2,

即2a-b=2,

比較兩邊的指數,得:a-b=1,

故選A.

例5 已知a^x=ab^2,a^y=a^2/b,

則x+2y的值等于_________.

分析與解:構造一個以a為底數,x+2y為指數的冪,得:

a^(x+2y)=a^x×a^(2y)

=ab^2×(a^y)^2

=ab^2×a^4/b^2=a^5,

即a^(x+2y)=a^5,

比較兩邊的指數,得:x+2y=5.

例6 已知3^x=108,3^y=6,則x,y滿足的關系式是( )

A.x-y=1 B.x-y=2

C.x-2y=1 D.x-2y=2

分析與解:依次構造以3為底,指數分別為x-y,x-2y的冪,再逆向運用冪的運算法則進行計算.

3^(x-y)=3^x÷3^y

=108÷6=18≠31,≠32,

所以x-y≠1,≠2,

可排除A和B;

3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2

=108÷6^2=3=3^1,

所以2x-y=1,故選C.

例7 已知5^m=100,5^n=40,則m,n滿足的關系式是_______________.

分析與解:構造一個以5為底的冪,該冪經過計算后能夠得到一個仍然是以5為底的冪,然后通過比較冪的指數而獲解.顯然,這樣的冪只能來自已知的兩個等式相除,約去所有非5的因數而獲得.

由于100含有非5的因數2^2,40含有非5的因數2^3,它們相除后要能夠約掉,必須是把2^2立方,把2^3平方,因此,

把5^m=100=2^2×5^2的兩邊立方,得:

5^(3m)=2^6×5^6,

把5^n=40=2^3×5的兩邊平方,得:

5^(2n)=2^6×5^2,

所以5^(3m-2n)

=5^(3m)÷5^(2n)

=2^6×5^6÷(2^6×5^2)

=5^4,

即5^(3m-2n)=5^4,

所有m,n滿足的關系式是3m-2n=4.

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