冪運算法則的逆向運用
冪運算法則指的是：
（1）同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即a^m×a^n=a^(m+n)；
（2）同底數冪相除，底數不變，指數相減，即a^m÷a^n=a^(m-n)；
（3）冪的乘方，底數不變，指數相乘，即(a^m)^n=a^(mn)；
（4）積的乘方等于乘方的積，(ab)^n=a^nb^n.
逆向運用這些法則就是：
（1）a^(m+n)=a^m×a^n，即指數和的冪等于同底數冪的積；
（2）a^(m-n)=a^m÷a^n；即指數差的冪等于同底數冪的商；
（3）a^(mn)=(a^m)^n；即指數積的冪等于冪的乘方；
（4）a^nb^n=(ab)^n，即同指數冪的積等于積的冪.
逆向運用冪運算法則可以解決一些具有一定難度的冪的問題.請看：
例1 已知2^a=6，2^b=3，
則2a-b+2=______.
分析與解：逆向運用冪運算法則，得：
2^(a-b+2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.
例2（2021·廣東中考題）
已知9^m=3，27^n=4，
則3^(2m+3n)=（ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
分析與解：3^(2m+3n)是指數積與和的冪，逆向運用冪的運算法則，把它化為冪的乘方及冪的乘積，得：
3^(2m+3n)=3^(2m)×3^(3n)
=(3^2)^m×(3^3)^n
=9^m×27^n=3×4=12，
故選D.
例3（2021·四川達州中考題）
已知a，b滿足等式
a^2+6a+9+√(b-1/3)=0，
則a^2021b^2020=___________．
分析與解：將已知等式變形，化為
(a+3)^2+√(b-1/3)=0，
由非負數性質，得：
a=-3，b=1/3，所以ab=-1，
所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020
=a×(ab)^2020=（-3）×(-1)^2020=-3.
例4 如果2^a=6，2^b=3，
則a-b等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析與解：因為a，b是冪的指數，欲求a-b的值，先考慮構造一個指數為a-b的冪，由于已知冪的底數為2，所以構造底數為2，指數為a-b的冪，然后再求它的值.
由已知，得：
2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2，
即2a-b=2，
比較兩邊的指數，得：a-b=1，
故選A.
例5 已知a^x=ab^2，a^y=a^2/b，
則x+2y的值等于_________.
分析與解：構造一個以a為底數，x+2y為指數的冪，得：
a^(x+2y)=a^x×a^(2y)
=ab^2×(a^y)^2
=ab^2×a^4/b^2=a^5，
即a^(x+2y)=a^5，
比較兩邊的指數，得：x+2y=5.
例6 已知3^x=108，3^y=6，則x，y滿足的關系式是（ ）
A.x-y=1 B.x-y=2
C.x-2y=1 D.x-2y=2
分析與解：依次構造以3為底，指數分別為x-y，x-2y的冪，再逆向運用冪的運算法則進行計算.
3^(x-y)=3^x÷3^y
=108÷6=18≠31，≠32，
所以x-y≠1，≠2，
可排除A和B；
3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2
=108÷6^2=3=3^1，
所以2x-y=1，故選C.
例7 已知5^m=100，5^n=40，則m，n滿足的關系式是_______________.
分析與解：構造一個以5為底的冪，該冪經過計算后能夠得到一個仍然是以5為底的冪，然后通過比較冪的指數而獲解.顯然，這樣的冪只能來自已知的兩個等式相除，約去所有非5的因數而獲得.
由于100含有非5的因數2^2，40含有非5的因數2^3，它們相除后要能夠約掉，必須是把2^2立方，把2^3平方，因此，
把5^m=100=2^2×5^2的兩邊立方，得：
5^(3m)=2^6×5^6，
把5^n=40=2^3×5的兩邊平方，得：
5^(2n)=2^6×5^2，
所以5^(3m-2n)
=5^(3m)÷5^(2n)
=2^6×5^6÷（2^6×5^2）
=5^4，
即5^(3m-2n)=5^4，
所有m，n滿足的關系式是3m-2n=4.
