圓是古人最早認知的幾何圖形之一，他們使用繩子在丈量土地時，發現只要一個人拿著繩子一端原地不動，一人拉著繩子另一端移動，就會畫出一個圓形。因而意識到圓有兩個核心要素：圓心和半徑。
圓的定義：在同一平面內到一個定點（O）的距離（R）點的集合叫做圓，這個定點叫做圓的圓心（O）。
需要注意的是，我們通常說的圓是指圓周，就是到圓心距離相等的點的集合，并不包含圓心。這些點組成了圓形。在一些幾何題中的圓也不會給出圓心，如：一個三角形的外接圓或內切圓，但只要給出了圓，就可以很容易獲得圓心。
圓的半徑：
連接圓上任意一點和圓心的線段叫做半徑（AO），一般用r（radius）表示。
圓的直徑：
初中教科書上說，連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑。其實我們可以這樣理解，一條經過圓心的直線與圓相交兩點，連接這兩點的線段叫做直徑（AB），一般用字母d（diameter）表示。由于圓心O到點A和點B的線段均等于半徑，所以直徑的長度是2倍的半徑長度，即d=2r。
圓的周長：
古代數學家將大小不同的圓環沿著直尺滾動一周后發現，圓的周長總是以圓的直徑乘以某個常數，這個常數就是我們現在熟知的圓周率（π）。然而當時的人們卻發現π不是一個整數，似乎無論如何都無法得到π的準確值，這個困擾了人們上千年之久，直到1761年德國數學家約翰·海因里希·蘭伯特使用連分數法證明了π是無理數（無限不循環小數）。在1844年法國數學家劉維爾證明了超越數的存在性之后的1882年，德國數學家林德曼證明了圓周率是超越數。圓周率π的神秘面紗才被真正揭開了。
既然圓的周長是某個常數乘以直徑，我們就先獲得了圓的周長的公式：
C=πd 或 C=2πr。
周長用字母C（circumference）表示
圓周率π的計算：
現在很多人都理所當然認為π是常數，但并沒有想過π為什么是常數？如果π不是常數，且是無限不循環小數，那么我們禪精竭慮計算出π的值將沒有任何意義。
首先，證明π是常數的過程：（沒學過“相似三角形”可以直接看結論）
作兩個以O點為圓心，半徑為R1和R2的同心圓。再分別作兩個圓的內接正n邊形（ n= 10），且保證正兩個正多邊形過圓心的對角線重合。兩個正多邊形的邊長分別為K1和K2。
我們通過：
從而我們獲得結論：
圓的周長（πd 或2πr）只跟半徑相關， 則π為常數。
π的計算：
與證明π為常數的方法一樣，人們在計算π的值同樣使用圓內接正n邊形，n越大，正n邊形的周長越接近圓的周長，從而計算出更加精確的π值。這就是“割圓法”。
上圖是古希臘數學家阿基米德（公元前287年—公元前212年）通過正96邊形獲得的π值。我國的數學家祖沖之（公元429年—公元500年）在公元460年進一步得出精確到3.1415926和3.1415927之間，這個則達到了正24000邊形。這個在之后的800年都是最精確的π值。
細心的同學會發現“割圓法”中的正n邊形，n都是6的倍數。
這是因為利用直角三角形性質，我們可以比較容易計算出
這些角對應的邊長（具體將在以后介紹）。
趣聞
- 2011年，國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節，來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率。 [16]
- 國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學博物館的物理學家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運動，并一起吃水果派。之后，舊金山科學博物館繼承了這個傳統，在每年的這一天都會舉辦慶祝活動。
- 2020年，一個名為北阿拉巴馬慈善計算的非營利組織的創始人蒂莫西·穆利肯使用個人電腦，將數值計算到小數點后50萬億位，耗時303天。 [23]
- 2021年8月17日，美國趣味科學網站報道，瑞士研究人員使用一臺超級計算機，歷時108天，將著名數學常數圓周率π計算到小數點后62.8萬億位，創下該常數迄今最精確值記錄。
為什么科學家現在還在計算π的值？
當1882年德國數學家林德曼證明了圓周率是超越數后，人們開始意識到這個世界的神奇。目前存在自然界中的超越數只有兩個π（圓周率）和e（自然對數），其他的超越數都是人為定義的。人們相信如果能找到更多的超越數，揭開這些超越數的神秘面紗，我們就能探索到宇宙的盡頭。
