平面向量和空間向量知識點匯總（向量和空間向量）
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初高中學習是孩子處于青春期的階段，也是孩子學習當中最關鍵的六年，因為它涉及到了中考與高考，左養中學教育賴頌強再講孩子的學習方法和考試心里調節的直播課里，系統的講解到如何幫孩子提升學習效率，提升考試時候的心理素質，從而提升學習成績。
向量：
1、有大小又有方向的量。如力、位移，速度等。
2、向量的大小稱為向量的模，記作|a|。
3、向量的運算：
1）求和（結果仍是向量），利用三角形法則或平行四邊形法則。
2）向量和數的乘積（結果仍是向量）。
定理：設向量a≠0，那么，向量b與向量a平行的充分必要條件是：存在唯一的實數λ，使b=λa。
4、向量的坐標
1）（一個向量）：向量的坐標表示法：用向量的起點和終點兩個點的坐標表示。
例如：向量a表示由點M1指向點M2的向量，M1（x1，y2，z1）為起點，M2（x2，y2，z2）為終點，則向量a表示為
a=M1M2=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）
即：向量的坐標為終點坐標減去起點坐標的對應坐標值。可理解為將向量a平移到起點與坐標原點重合。
2）（兩個向量）：向量的加法、減法以及向量與數的乘積。
（1）向量相加時，向量之和的坐標為對應坐標值之和；
（2）向量相減時，向量之差的坐標為對應坐標值之差（前坐標-后坐標）；
（3）向量與數相乘，乘積的坐標為對應坐標值與數的乘積。
5、（一個向量）：向量的方向角：
非零向量a與三條坐標軸正向的夾角α、β、γ稱為它的方向角。向量的模、方向角與坐標之間的關系如下：
ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，（1）
即，向量的對應坐標值等于向量的模乘以對應方向角的余弦值。
注：向量三個方向余弦值的平方和等于1
注：向量的模等于向量各坐標值的平方和開算術平方根。（求向量的模就是求向量（坐標點與原點連線）的長度，解三角形。）
再由式（1）可求出，各個方向余弦角。
6、（兩個向量）：數量積、向量積、混合積
設兩個向量的夾角為θ（0≤θ≤π）。
1）數量積：
向量a和向量b的數量積（點乘）是一個數量（實數），記作a * b，其大小為|a||b|cosθ。
注：向量a與向量b垂直的充分必要條件是a*b=0。(實數0）（因為，cos90°=0）
2）向量積：
向量a和向量b的向量積（×乘）是一個向量c，記作a x b，即 c=a x b，c的模記作|c|=|axb|=|a||b|sinθ。
即：兩個向量積的向量積的模等于兩個向量的模的乘積的正弦值。
向量c的方向垂直于向量a和向量b所決定的平面，c的指向按右手法則確定。
3）（兩個向量）向量的坐標表示法：
向量a=（x1，y2，z1），向量b=（x2，y2，z2）
（1）數量積（點乘）：向量積等于對應坐標乘積之和（乘積是一個數量（實數））。
即：a*b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
（2）向量積（×乘）：（乘積是一個向量）
axb=（y1*z2-z1*y2，z1x2-x1z2，x1y2-y1x2）（注：寫成矩陣形式比較直觀）
由向量積的定義可知，向量a與向量b平行的充分必要條件是axb=0（0向量）。
（3）混合積：
三個向量a、b、c的混合積是一個數量。這個數量通過先作前兩個向量的向量積axb，再作數量積（axb）*c得到，混合積記作[abc]，即：
[abc]=（axb）*c
向量混合積[abc]的幾何意義：（注：向量混合積應用，求空間任意四個點圍成的四面體體積。）
[abc]這個數，它的絕對值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積，它的符號由向量a、b、c組成右手系還是左手系來確定，前者為正，后者為負。
常見考試知識點：
1）（一個向量）求向量的模、方向余弦和方向角；
求解過程：
通過兩點坐標求得向量的坐標，再求處向量的模，再由公式向量的方向角的余弦值等于向量的對應坐標值比向量的模求得，最后通過反三角函數求得向量的各個方向角。
2）（兩個向量）求兩個向量的夾角
求解過程：
先求出兩個向量的數量積（坐標運算）、兩個向量的模（的乘積）；然后通過兩個向量的數量積等于兩個向量的模的乘積的余弦值（求出cosθ），再用反三角函數求出夾角的數值。
3）向量定義的考察，如兩個向量平行、垂直的充分必要條件。
4）求空間三角形的面積。（考點，向量的向量積，即×乘）（注：三角形的面積公式：面積等于兩邊之積乘以夾角的正弦值除以2。
