數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)陳述的推理論證，表明陳述的假設(shè)在邏輯上保證了結(jié)論。論證可以使用其他先前建立的陳述，例如定理；但原則上，每個證明都可以僅使用某些稱為公理的基本或原始假設(shè)以及公認(rèn)的推理規(guī)則來構(gòu)建。證明是建立邏輯確定性的詳盡演繹推理的示例，以區(qū)別于經(jīng)驗建立“合理預(yù)期”的論證或非窮盡歸納推理。提出陳述成立的許多情況不足以證明，證明必須證明陳述在所有可能的情況下都是正確的。一個未被證明但被認(rèn)為是真的命題被稱為猜想，如果經(jīng)常用作進一步數(shù)學(xué)工作的假設(shè)，則稱為假設(shè)。
證明使用以數(shù)學(xué)符號表示的邏輯，以及通常承認(rèn)一些歧義的自然語言。在大多數(shù)數(shù)學(xué)文獻中，證明是根據(jù)嚴(yán)格的非正式邏輯編寫的。純粹的形式證明，完全用符號語言編寫，不涉及自然語言，在證明理論中被考慮。正式證明和非正式證明之間的區(qū)別導(dǎo)致了對當(dāng)前和歷史數(shù)學(xué)實踐、數(shù)學(xué)中的準(zhǔn)經(jīng)驗主義以及所謂的民間數(shù)學(xué)的大量檢驗。數(shù)學(xué)哲學(xué)關(guān)注語言和邏輯在證明中的作用，以及數(shù)學(xué)作為一種語言。
要實施數(shù)學(xué)證明，有很多種方法，盡可能多地掌握這些證明方法，嘗試解決遇到的問題。
直接證明
在直接證明中，結(jié)論是通過公理、定義和早期定理的邏輯組合來建立的。例如，直接證明可以用來證明兩個偶數(shù)之和總是偶數(shù) ：
考慮兩個偶數(shù)x和y，由于它們是偶數(shù)，因此對于某些整數(shù)a和b，它們可以分別寫為x = 2a和y = 2b。那么總和是x + y = 2a + 2b = 2( a + b )。因此x + y有 2 作為因子，并且根據(jù)定義是偶數(shù)。因此，任何兩個偶數(shù)之和都是偶數(shù)。
這個證明使用偶數(shù)的定義、加法和乘法下閉包的整數(shù)性質(zhì)以及分配性質(zhì)。
數(shù)學(xué)歸納證明
數(shù)學(xué)歸納是一種演繹方法，而不是歸納推理的一種形式。在數(shù)學(xué)歸納證明中，證明了一個“基本情況”，并證明了一個“歸納規(guī)則”，該規(guī)則確定任何任意情況都暗示下一個情況。由于原則上可以重復(fù)應(yīng)用歸納規(guī)則（從已證明的基本案例開始），因此所有（通常是無限多）案例都是可證明的。這避免了必須單獨證明每個案例。數(shù)學(xué)歸納法的一個變體是無限下降證明，例如，它可以用來證明2的平方根的不合理性。
數(shù)學(xué)歸納證明的一個常見應(yīng)用是證明一個已知對一個數(shù)成立的屬性對所有自然數(shù)都成立：令N = {1, 2, 3, 4, … } 是自然數(shù)的集合數(shù)，令P ( n )是一個數(shù)學(xué)陳述，涉及屬于N的自然數(shù)n使得
- (i) P (1)為真，即當(dāng)n = 1時P ( n )為真。
- (ii) 只要P (n)為真， P (n +1)就為真，即P (n)為真意味著P (n +1)為真。
- 那么P (n)對所有自然數(shù)n都為真。
例如，我們可以通過歸納證明所有2n-1形式的正整數(shù)都是奇數(shù)。令P (n)表示“ 2n ? 1是奇數(shù)”：
(i)對于n = 1 , 2n – 1 = 2(1) – 1 = 1，并且1是奇數(shù)，因為它在除以2時余數(shù)為1。因此P (1)為真。
(ii)對于任何n，如果2 n – 1是奇數(shù) ( P (n) )，那么(2n – 1) + 2也一定是奇數(shù)，因為奇數(shù)加2會產(chǎn)生奇數(shù)。但是(2n – 1) + 2 = 2n + 1 = 2( n +1) – 1，所以2(n +1) – 1是奇數(shù) (P (n +1) )。所以P (n)意味著P (n +1)。
因此 ，對于所有正整數(shù)n ， 2n – 1都是奇數(shù)。
對位證明
對立證明通過建立邏輯等價的對立命題“如果不是q那么不是p“推斷命題“如果p則q ”。
例如，給定一個整數(shù)，可以使用對位證明來確定，如果是偶數(shù)，那么是偶數(shù)：
假設(shè)不是偶數(shù)，那么是奇數(shù)，兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，因此是奇數(shù)，因此是奇數(shù)。因此，如果是偶數(shù)，假設(shè)一定是假的，所以必須是偶數(shù)。
矛盾證明法
在矛盾證明中，如果假設(shè)某個陳述為真，則會發(fā)生邏輯矛盾，因此該陳述必須是錯誤的。一個著名的例子涉及證明是一個無理數(shù)。
構(gòu)造證明
構(gòu)造證明或?qū)嵗C明是構(gòu)造具有屬性的具體示例以表明存在具有該屬性的事物。例如，約瑟夫·劉維爾（ Joseph Liouville ）通過構(gòu)建一個明確的例子證明了超越數(shù)的存在。它也可以用來構(gòu)造一個反例來反駁所有元素都具有某種性質(zhì)的命題。
窮舉法證明
在窮舉證明中，結(jié)論是通過將其劃分為有限數(shù)量的案例并分別證明每個案例來建立的。案件的數(shù)量有時會變得非常大。例如，四色定理的第一個證明就是用 1936 例窮舉證明。這個證明是有爭議的，因為大多數(shù)案例是由計算機程序而不是手動檢查的。截至 2011 年，已知最短的四色定理證明仍有 600 多個案例。
概率證明
概率證明是通過使用概率論的方法證明一個例子確實存在的證明。概率證明，與構(gòu)造證明一樣，是證明存在定理的眾多方法之一。
在概率方法中，人們從大量候選對象開始尋找具有給定屬性的對象。一個人為每個被選中的候選者分配一個特定的概率，然后證明一個被選中的候選者將具有所需屬性的非零概率。這沒有指定哪些候選人具有該屬性，但如果沒有至少一個，概率就不可能是正數(shù)。
不要將概率證明與定理“可能”為真的論證、“似是而非的論證”相混淆。Collat ??z 猜想的研究表明，合理性與真正的證據(jù)相去甚遠。雖然大多數(shù)數(shù)學(xué)家不認(rèn)為給定對象屬性的概率證據(jù)算作真正的數(shù)學(xué)證明，但一些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家認(rèn)為，至少某些類型的概率證據(jù)（例如拉賓用于測試素性的概率算法）是就像真正的數(shù)學(xué)證明一樣好。
組合證明
組合證明通過表明它們以不同的方式計算相同的對象來建立不同表達式的等價性。通常使用兩個集合之間的雙射來表明它們的兩個大小的表達式相等。
非構(gòu)造性證明
非構(gòu)造性證明確定了具有特定屬性的數(shù)學(xué)對象存在——沒有解釋如何找到這樣的對象。通常，這采取矛盾證明的形式，其中對象的不存在被證明是不可能的。相反，構(gòu)造性證明通過提供一種找到特定對象的方法來確定特定對象的存在。
純數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計證明
“統(tǒng)計證明”這個表達方式可以在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域技術(shù)性地或通俗地使用，例如涉及密碼學(xué)、混沌級數(shù)和概率數(shù)論或解析數(shù)論。它不太常用來指代數(shù)學(xué)分支中稱為數(shù)理統(tǒng)計的數(shù)學(xué)證明。另請參閱下面的“使用數(shù)據(jù)的統(tǒng)計證明”部分。
計算機輔助證明
直到 20 世紀(jì)，人們認(rèn)為任何證明原則上都可以由有能力的數(shù)學(xué)家檢查以確認(rèn)其有效性。但是，計算機現(xiàn)在既用于證明定理，也用于執(zhí)行任何人或團隊都無法檢查的計算；四色定理的第一個證明是計算機輔助證明的一個例子。一些數(shù)學(xué)家擔(dān)心，計算機程序中出現(xiàn)錯誤或計算中出現(xiàn)運行時錯誤的可能性會使此類計算機輔助證明的有效性受到質(zhì)疑。在實踐中，通過在計算中加入冗余和自檢，以及開發(fā)多種獨立的方法和程序，可以減少使計算機輔助證明無效的錯誤機會。在人類驗證證明的情況下，也永遠不能完全排除錯誤，特別是如果證明包含自然語言并且需要深入的數(shù)學(xué)洞察力來發(fā)現(xiàn)潛在的隱藏假設(shè)和謬誤。
