在初中數學學習中,最難的部分就是二次函數了。為幫助考生攻克二次函數的難題,大禹未來教育搜集到相關的知識點,分享給各位同學:
01、二次函數的圖像與性質
a的符號決定開口方向,|a|決定開口大小
① a>0拋物線開口向上;a<0拋物線開口向下.
② |a|越大,開口越大,|a|越小,開口越小
拋物線的上下平移
① 拋物線y=ax2 k與拋物線y=ax2,形狀相同,只是位置不同.② 函數y=ax2 k的圖象可由函數y=ax2的圖象經向上或向下平移得到.
當k>0時,函數y=ax2 k的圖象可由函數y=ax2的圖象向上平移得到k個單位得到;
當k<0時,函數y=ax2 k的圖象可由函數y=ax2的圖象向下平移得到k個單位得到.
③ 拋物線y=ax2 k的對稱軸仍是y軸(x=0).
④ 拋物線y=ax2 k的頂點坐標為(0,k).
【方法】口訣:“上加下減,上下平移在末梢”.
拋物線的左右平移
① 拋物線y=a(x-h)2與拋物線y=ax2,形狀相同,只是位置不同.
② 函數y=a(x-h)2的圖象可由函數y=ax2的圖象經向左或向右平移得到.
當h>0時,函數y=a(x-h)2的圖象可由函數y=ax2的圖象向右平移得到h個單位得到;
當h<0時,函數y=a(x-h)2的圖象可由函數y=ax2的圖象向左平移得到|h|個單位得到.
③ 拋物線y=a(x-h)2的對稱軸是x=h.
④ 拋物線y=a(x-h)2的頂點坐標為(h,0).
【方法】口訣:“左加右減,左右平移在括號”.
02、二次函數解析式確定
頂點式:y=a(x-h)2 k
當已知二次函數圖象的頂點坐標(h,k)及經過另外一個條件時,設二次函數的解析式為y=a(x-h)2 k(k≠0),
再利用其他條件求出a的值,
從而求得函數解析式y=a(x-h)2 k.
一般式:y=ax2 bx c
當已知二次函數的圖象上的三點坐標(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)時,且a、b、c都為未知數時,設二次函數解析式為y=ax2 bx c (a≠0),
再代入三點的坐標得三元一次方程組
解方程組可以唯一確定a、b、c的值,
從而求得函數解析式y=ax2 bx c.
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)
當已知二次函數與x軸的兩個交點(x1,0) ,(x2,0)的坐標時,設二次函數的解析式為y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),
再利用其他條件求出a的值,
從而求得函數解析式y=a(x-x1)(x-x2),
最后將交點式y=a(x-x1)(x-x2)化簡為一般式.
03、判斷點與圓的位置關系
經過一點的圓
只要以點A以外任意一點為圓心,以這一點與點A的距離為半徑就可以作出過點A的圓,這樣的圓有無數個.
過三點的圖
①同一直線上的三點不能作圓
②經過不在同一直線上的三點A、B、C,有且只有一個圓.
不在同一條直線上的三點確定一個圓.
圓心在線段AB、BC、AC的垂線平分線的交點O上,
以O為圓心,OA(或OB、OC)為半徑可作出經過A、B、C三點的圓,這樣的圓有且只有一個.
三角形外接圓
經過任意三角形三個頂點可以作出一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.
三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心,是三角形三邊垂直平分線的交點.
三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等,等于外接圓的半徑.
04、切線的判定方法
定義法
和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.
距離法
圓心到直線的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.
當題目欲求證的直線沒有明確說明經過圓上的點時,一般用此方法.方法:作垂直、證半徑.
過點O作OH⊥MN于H,證明OH=r即可推出MN為⊙O的切線.
判定定理
經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
當題目欲求證的直線經過圓上的點時,一般用此方法.
方法:連半徑、證垂直.
連接OA,證明OA⊥MN即可推出MN為⊙O的切線.