出品：科普中國
制作：中國科學院數學與系統科學研究院 黃逸文
監制：中國科學院計算機網絡信息中心
世界上最神奇的數是什么，這個問題可能會有千奇百怪的答案，就好像一千個人里就有一千個哈姆雷特。大抵每個人都有自己的幸運數字和偏好。
如果問世界上最神奇的方程是什么，那么可能大多數人都會同意，它就是大名鼎鼎的歐拉恒等式。
在這個看起來匪夷所思的等式里，匯集了人類科學史上最重要的五個常數。它們在各自的領域里都是皇冠上的明珠，都代表著人類永攀科學高峰的征程中，留下的里程碑式的成就。
0和1都是有理數，承載著算數王國的基石；虛數i作為虛擬世界的支柱，是代數學的象征；無理數π詮釋著幾何學的美；e是自然對數的底，則閃爍著分析學的光芒。現代數學的三大分支，代數、幾何與分析，都在這個公式里完美而和諧地融合在了一起。
那么，在這個五個數里面，是否就隱藏著這個世界上最神奇的數呢？
沒錯，這個數就是自然常數e。
歷史上，人們把對數的發明、解析幾何學的誕生與微積分的創始并稱為17世紀數學的三大成就。e作為自然對數的底，從那個時候起，就逐漸嶄露頭角，發揮越來越重要的作用，為人類文明的躍升保駕護航。
在歐拉恒等式里，0、1和π都是生活中處處可見的數字，虛數i則存在于人們的想象之中，只有e似乎最低調，在生活中，大多數人終其一生甚至都不曾見過e的蹤影。然而吊詭的是，就是這樣一個處處隱姓埋名的無理數，卻揭示了宇宙中最深刻的秘密，并且反映了自然界諸多事物發展的底層規律。
其實，e一直在和我們默默地打交道，只是它隱匿得太深，要理解它還需必要的抽絲剝繭。比如，它直接影響著我們的錢包大小。
理財已經成為現代人必不可少的常識。對于缺乏投資渠道的老百姓，人們更傾向于把錢存入銀行。曾幾何時，銀行以優渥的定期存款利率吸引著大部分的居民存款。
假如某銀行一年期的存款利率是100%，我們來看看一年內我們能從銀行薅走多少羊毛。如果我們的初始本金是1元，很顯然，一年后我們能獲得2塊錢的收入。
如果我們希望銀行半年付一次息，所得利息繼續作為本金存入銀行，那么一年后我們將獲得2.25元的收入。
如果我們希望銀行更加慷慨一些，每一個月進行一次利息計算，然后利滾利，一年后我們將獲得2.61元的收入。
感謝各種寶寶的出現，我們終于可以實現按天發放利息，并且利滾利，這樣算下來，一年后我們將獲得2.71456元的收入。
然而，我們的“貪得無厭”總歸要有一個天花板，即使銀行按分鐘、按秒來發放利息，我們一年后最多能獲得的收益就是這樣一個極限，而這個極限正是e。
當然，現實生活中并沒有出現過100%的年化利率。常見的利率也就是在2%-5%之間浮動。如果銀行年化利率是4%，那么一年后的收入極限就是e開25次方，一年后的利息收入最多只有4.08%。
從某種角度來說，e就是復利的極限，也是增長的極限。e，就這樣悄無聲息地為人性的貪婪劃定了邊界。
令人驚奇的是，它還藏身于古人口口相傳的故事里。古人常用“飛蛾撲火”來表達對一部分人自不量力的藐視，也用它來稱頌為了愛情而視死如歸的戀人。然而，飛蛾撲火的悲劇里也佇立著e的背影。人類對這一現象理解的常見誤區，是認為昆蟲具有趨光性，因此就容易被火光所吸引，從而自取滅亡。通過對昆蟲習性的長期研究，人們才發現，飛蛾撲火僅僅是因為它認為自己是在以正確的路線飛行，而不知道早已深處險境。
原來，夜晚活動的昆蟲為了確保自己的運動方向，通常以月光作為參考。它在漫長的進化中，已經學會了讓自己的行動路線和一束平行光線保持固定的角度，這樣就能以直線飛行。
月亮與地球的距離過于遙遠，每一束到達地球的月光都可以近似看做平行線。蟲子就是靠著這億萬年來皎潔的月光為自己導航。不幸的是，當燈光出現以后，它的亮度遠遠超過月光時，燈光周圍的蟲子就會把這個最強的光源作為指引它飛行的燈塔。這就為悲劇埋下了種子。
由于每一縷燈光都是從一點發出來，在周圍空間呈現輻射狀。飛蛾根據進化的習慣，依然保持跟每一縷光線相同的夾角飛行。最后的結果，就是旋轉地一圈一圈墜入燈光的中心。飛蛾的飛行曲線被稱為斐波拉契螺旋線。它描述的就是一個在輻射狀的網格圖里，按照和每條輻射線保持固定夾角的曲線模型。
事實上，大自然中到處都有斐波拉契螺旋線的杰作。
海螺的外殼、向日葵的種子、臺風的流動、水中的漩渦，包括DNA形成的雙螺旋結構，甚至銀河系的俯視圖，都呈現出這個規律。原因就是它們在生長過程中，始終保持著與輻射線等角度的發展方向，最終就必然形成一種螺旋線的外形。這里面都包含著數字e。唯一的區別，僅僅是e的多少次方不同。在自然界的底層規律上，依然能找到e的蹤跡。大自然在各種微觀、宏觀、生命和非生命體現象中都透露出對e的喜愛。
斐波拉契螺旋線——DNA的雙螺旋結構
斐波拉契螺旋線——海螺的外殼結構
斐波拉契螺旋線——向日葵的種子排列
斐波拉契螺旋線——水中的漩渦
斐波拉契螺旋線——臺風的流動規律
斐波拉契螺旋線——銀河系的螺旋臂
為什么e會成為宇宙中普遍的現象呢？因為絕對的平行在現實中并不存在，只要尺度足夠大，很多事物都會以輻射狀的形態分布。這種發散的趨勢造就了螺旋線的結構。
這樣，一個不起眼的常數，卻能在小到DNA的雙螺旋，大到星系的分布規律中出現。e，因為反映了大自然的底層規律，也因此才被稱為自然常數。
不僅如此，e在現代科學中也發揮越來越重大的作用。它的出現連接了三角函數與指數函數，奠定了分析大廈的基礎。以e為基礎的傅里葉變換成了信息技術的鼻祖，更造就了今日的IT產業。
同時，e在數學、物理、化學、生物、經濟學等學科里變得更加舉足輕重。
數學家可以用e來輕易計算高位數的高次方根；物理學家可以用e來求解各種揭示宇宙規律的物理方程；化學家用e來進行PH值的計算，來得到對數的濃度圖。生物學家用e來描述微生物的生長和細菌的繁殖；經濟學家也用e來處理大數據的金融分析。這是一個無處不在的數字。
e不僅重要，而且是唯一的。如果沒有這樣一個無理數的存在，也許整個宇宙都將不復存在。它以最讓人難懂的價值，卻肩負著宇宙間所有事物的進展規律。
因此，我們有充分的理由相信，e，就是世界上當之無愧的神奇。
