自有記錄的歷史開始以來，數學的發現就一直處于每一個文明社會的前沿，甚至在最原始的文化中也得到應用。數學的需求是建立在社會需求的基礎上的。社會越復雜，數學需求就越復雜。原始部落所需要的僅僅是數數的能力，他們還依靠數學來計算太陽的位置和狩獵的物理原理。
數學史
我們今天所知道的，在中國，印度，埃及，中美洲和美索不達米亞的幾個文明為數學做出了貢獻。蘇美爾人是最早建立計數系統的人。數學家開發了算術，其中包括基本運算，乘法，分數和平方根。蘇美爾人的體系通過公元前300年的阿卡德帝國傳給巴比倫人。600年后，在美國，瑪雅人發展了復雜的歷法系統。大約在這個時候，零的概念得以發展。
隨著文明的發展，數學家開始研究幾何學，通過計算面積和體積來測量角度，并有許多實際應用。幾何學被用于從家庭建筑到時尚和室內設計的一切。
幾何學與代數密切相關，9世紀由波斯數學家穆罕默德·伊本·穆薩·阿勒霍瓦里茲米發明。他還開發了快速乘法和跳轉數字的方法，這些方法被稱為算法
代數為文明提供了一種劃分遺產和分配資源的方式。對代數的研究意味著數學家要解線性方程組和系統，也要解二次方程，并深入研究正解和負解。古代數學家也開始研究數論。數論起源于形狀的構造，研究數字的形狀、數字的特征和定理。
數學與希臘人
早期文明中對數學的研究是希臘人奠定了數學的基石，他們通過幾何發展了抽象數學的模型。希臘，以其令人難以置信的建筑和復雜的政府體系，一直是數學成就的典范，直到現代。希臘數學家被分成幾個學派：
- 愛奧尼亞學派，由泰勒斯創立，常被認為是第一個給出演繹證明并發展了平面幾何的五個基本定理的人。
- 畢達哥拉斯（Pythagoras）創建的畢達哥拉斯學派（Pythagorean School）研究比例，平面和實體幾何以及數論
- 埃里克派的埃洛派（Eleatic School），以他的四個悖論而聞名。詭辯學校，因在先進的希臘城市提供高等教育而受到贊譽。
- 詭辯學校，因在先進的希臘城市提供高等教育而受到贊譽。詭辯家使用抽象推理來進行公開辯論。
- 柏拉圖學派，由柏拉圖創立，他鼓勵在類似于現代大學的環境中進行數學研究。
- 由尤多克斯（Eudoxus）創立的尤多克斯學院（Eudoxus），他發展了比例和大小理論并提出了許多平面幾何定理
- 亞里斯多德學派，也被稱為學園，由亞里士多德創立，并遵循柏拉圖式的學校。
除了上面列出的希臘數學家，一些希臘人在數學史上留下了不可磨滅的印記。阿基米德、阿波羅、丟番圖、帕普斯和歐幾里得都來自這個時代。為了更好地理解序列以及這些數學家是如何相互影響的，請訪問這個時間線。
在這段時間里，數學家開始研究三角學。在計算性質上，三角法需要測量角度和計算三角函數，包括正弦、余弦、正切和它們的倒數。三角法依賴于像歐幾里得這樣的希臘數學家發展的綜合幾何。例如，托勒密定理給出了角和差和弦的規則，它們對應于正弦和余弦的和差公式。在過去的文化中，三角學被應用于天文學和天球角度的計算
羅馬帝國滅亡后，阿拉伯人接著是歐洲人，開始了數學的發展。斐波那契是歐洲最早的數學家之一，他以算術、代數和幾何學理論聞名。文藝復興導致了包括小數、對數和射影幾何在內的進步。數論得到了極大的發展，概率論、解析幾何等理論開創了以微積分為核心的數學新時代
微積分的發展
在17世紀，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨獨立發展了微積分的基礎。微積分的發展經歷了預期、發展和嚴格三個階段。在預期階段，數學家們試圖使用涉及無限過程的技術來尋找曲線下的區域面積或得到極大值和極小值。在發展階段，牛頓和萊布尼茨通過導數和積分將這些技術結合在一起。雖然他們的方法在邏輯上并不總是正確的，但在18世紀的數學家們對其不斷嚴格化，并且能夠證明他們是正確的，今天，我們用極限來定義導數和積分。
與微積分不同的是，微積分是一種連續數學，其他數學家則采用了一種更理論化的方法。離散數學是數學的一個分支，它處理的對象只能假定不同的、分離的值。離散對象可以用整數來表示，而連續對象需要實數。離散數學是計算機科學的數學語言，因為它包括了算法的研究。離散數學的領域包括組合學、圖論和計算理論。
人們常常想知道數學家在今天有什么意義。在現代世界，數學，比如應用數學，不僅相關，而且至關重要。應用數學是數學的一個分支，涉及到物理、生物或社會學領域的研究。應用數學的理念是創造一組解決科學問題的方法。應用數學的現代領域包括數學物理、數學生物學、控制理論、航空航天工程和數學金融。應用數學不僅解決問題，而且發現新的問題或發展新的工程學科。應用數學家需要有數學和科學的許多領域、物理直覺、常識和協作方面的專業知識。應用數學中常用的方法是建立一個現象的數學模型，解決該模型，并提出改進性能的建議。
雖然與應用數學不一定相反，純數學是由抽象問題驅動的，而不是現實世界的問題。純數學家所追求的很多東西都可以從具體的物理問題中找到根源，但對這些現象的深入理解會帶來問題和技術性問題。這些抽象問題和技術性問題正是純數學試圖解決的，這些嘗試為人類帶來了重大發現，包括艾倫·圖靈在1937年提出的“通用圖靈機”理論。通用圖靈機最初只是一個抽象概念，后來為現代計算機的發展奠定了基礎。純數學是抽象的，基于理論，因此不受物理世界的限制。
根據一位純粹數學家的說法，純粹數學家證明定理，而應用數學家構造理論。純粹和應用并不是相互排斥的，但它們植根于數學和解決問題的不同領域。雖然純數學和應用數學所涉及的復雜數學超出了大多數人的理解，但從這些過程中發展出來的解決方案已經影響并改善了所有人的生活。
