1924年，德國著名數學家希爾伯特（Hilbert，1862～1943）在一次演講中提出了著名的“希爾伯特旅館”問題：
一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都客滿了，但這時來了一位新客人。請問老板可以安排一個房間給新客人住嗎？
這不是腦經急轉彎，而是一道實實在在的數學難題。問題中涉及到的“無限”，也就是“無窮”，因為不能被肉眼所感知，歷代數學家為之可謂是傷透了腦筋。
一、“無窮”真的存在嗎？
地球上的沙粒有多少顆？或者說如何描述一個很大的數。這對我們當然是小菜一碟——“科學計數法”能輕易的表示任意大的數，如地球質量約為6*10^24（kg）等.但是對于古人卻是很困難的，以至于最著名的古希臘數學家阿基米德專門寫了一本《數沙者》來解決這個問題。阿基米德在此書中得到了一個數（1后面跟100個零），盡管已經很大，但是該數遠沒有到達“數的終點”。因此產生了另一個問題，就是數有終點嗎？或者說“無窮大”是真實存在的嗎？越說越玄了，又或者這更像一個哲學問題。
事實上，“無窮”最開始就是因為哲學問題被引入的，后來柏拉圖等古希臘先賢對其有一定的認識，最后到了公元前4世紀，古希臘物理學家亞里士多德（Aristotle公元前384～前322）將“無窮”分為了兩類：實無窮和潛無窮。
實無窮：認為“無窮”是一個整體，是已經構造完了的東西，即無窮是實在的.
潛無窮：“無窮”是無限延伸的，永遠處于構造中，并且永遠無法完成，即，無窮是潛在的.
亞里士多德更傾向于那一類勒？當然是“潛無窮\”，這影響了數學一個時代。但是隨著討論的深入，問題的困難系數似乎越來越大，以至于數學家們在接下來10多個世紀里，對待“無窮”隨時處于搖擺不定的狀態。
這讓我想起了兩個至今還爭論不休的問題：人的本性是“善”的呢，還是“惡”的呢？數學到底該是“發現”呢，還是“發明”？怎么說怎么有道理，幾千年的爭論并沒有讓問題得到根本的解決，而且越來越復雜。
二、“實無窮”和“潛無窮”誰是對的？
大家別誤會，小編沒打算也沒實力來討論無窮的哲學意義。讓我們接著來看這兩種觀念——實無窮和潛無窮，給數學帶來的重要影響。
微積分是17世紀最主要的一項數學發現，它決定了接下來幾個世紀的數學發展方向。和我們知道的一樣，微積分是從研究“無窮小”開始的。無論是積分中使用“無窮小分析法”來計算曲線圍成的面積、曲面圍成的體積，以及曲線的長度，還是微分中的求曲線的切線（或斜率），都會出現一個“無窮小量”.
牛頓在他1671年寫成的《流數法與無窮級數》一書中用”o”表示“無窮小的時間間隔”，假定流量為：y=x^n,則y y’o=(x x’o)^n,右邊按照二項式定理展開…
顯然，牛頓將“無窮小o”當成了一種實體存在的對象來研究，17/18世紀的其他著名數學家如萊布尼茨、約翰·伯努利、歐拉等，也都無一例外的將“無窮”視為“實無窮”，也就是實實在在存在的。加上微積分在實踐和工程上的巨大應用，讓大部分數學家對“無窮小量”的存在問題深信不疑。但同時，反對的聲音也有著強有力的反擊論據。
貝克萊（George Berkeley，1685-1753）是18世紀著名的數學家，他在聽到牛頓關于微積分的工作后，出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文……》，其目的只有一個：攻擊牛頓的微積分理論。
顯然，他達到了他的目的，因為他并非是無理取鬧，而是真正發現了當時情況下的微積分理論的一個重大漏洞：
在用“流數法”求解函數微分的過程中，牛頓先是使用了“無窮小的時間間隔o”,運算過程中它明顯不為零，但是最后“略去所有含有o的項”牛頓又將它看成了零。那么，o在微積分扮演了兩個角色：既要等于0，又要不等于0 . 這不是自相矛盾的嗎？
問題不止于此，要知道，微積分在諸多運用中都取得了巨大成功，這表明微積分（或叫牛頓的“流數法”）是沒有問題的，但是18世紀的數學家們又無法解決Berkeley提出的這個“貝克萊悖論”。矛盾產生的根本在哪里呢?數學家們嘗試了多種方法，但要直到19世紀才被認識和解決。
19世紀，“現代分析之父” 魏爾斯特拉斯（Weierstra?，1815-1897）在阿貝爾、柯西等人工作的基礎上，以ε-δ語言，系統建立了實分析和復分析的基礎。該定義將無窮小作為極限為0的變量，歸入到函數的范疇.“排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難”（Hilbert）.
由于ε-δ語言建立在極限的基礎上，此時對于無窮的理解是傾向于 “潛無窮”這邊的。
三、康托爾的集合論
19世紀，微積分的基礎問題已被完全解決，數學家們進而轉向去研究數系（甚至整個大廈的）基礎問題。而康托爾（Cantor，1845-1918）是其中最顯目的一個。1874年，他在《數學雜志》上發表的論文中，證明了有理數集合是可列的。這意味著什么呢？我們回到片頭的“希爾伯特無窮旅館”問題。
這個問題的答案是：可以安排下新來的客人。做法如下；
老板將1號房間的客人請到2號，2號請到3號，….，依次下去，將n號的客人請到n 1號，… 這樣，1號房間就空出來了，給客人入住即可。
估計有人會問，最后一個房間的客人去哪里呢？這個問題是沒有意義的，因為既然是無窮多個房間，就不會有最后一間。
是不是有些不可思議呢？這都不算，大家繼續往下看。
（1）.自然數和平方數誰更多？答案：一樣多
（2）.有理數和正整數誰更多？答案：一樣多
（3）.區間（0，1）上的點和（0，100）上的點誰更多？答案：一樣多
（4）.數軸上的點和坐標平面內的點誰更多？答案：一樣多
（5）.實數和有理數數誰更多？答案：實數
是不是整個人都有些不好了，歐氏幾何告訴我們，整體大于部分。但是到了無窮這里，一切規則都變了。為了更好理解康托爾眼中的無窮，讓我們從基礎開始。
康托爾給集合下的定義
- 我們將由一個或多個確定的個體（元素）構成的整體叫做集合A，集合中元素的個數叫做勢|A|。如，{0,1,2,3,4 }表示一個集合-記為A，它的元素個數為｜A｜=5.
- 如何定義“一樣多”。康托爾的想法是兩個集合間的元素能“一一對應”。如，集合B=｛a,b,c,d,e｝,|B|=5 ，有|A|=|B|. 它們”一樣多”.
同時，我們注意到:0→a, 1→b,2→c,3→d,4→e. 兩個集合A與B能夠“一一對應”。
這就是集合論的核心，兩個集合“一樣多”，是指它們之間能建立起“一一對應”的關系。這樣我們來構造正整數與平方數的對應。
再來看看正整數與有理數的對應，
按照箭頭的方向，我們得到一個與自然數\”一一對應\”的結合：{1,2,1/2,1/3,3,4,3/2，…..}.所以正整數與有理數是一樣多的，或者“勢”一樣。但實數的全體與正整數的全體卻是不能構成這樣的“一一對應”的。康托爾使用了反證法。
假設實數的全體（先取0到1之間的所有實數）可以與正整數“一一對應”，按照上圖將其羅列出來。現在我們構造一個數：它的第一位小數不為a1（用！a1表示），第二位小數不為a2,……依次下去，我們發現，得到的數0.！a1!a2….不是列舉中的任何一個數。換句話說，我們假設（0,1）之間的數列舉完了，結果又出現了一個新的實數。矛盾。 這樣康托爾得到(0,1)之間的實數比正整數要“多”，進而得到實數的個數比正整數要“多”.
在康托爾的理論里，所有自然數、實數等都能構成集合，也就是自然數集、實數集等是實際存在的，無窮也就自然的向“實無窮”傾斜了。這些理論讓他的老師克羅內克接受不了，一輪輪的理論攻擊（當然不只是人身攻擊，而更多的是正當的、有理的）就開始了。最后的結果是，康托爾時而認可自己的成果，時而又懷疑，最終在多重壓力下，他住進了精神病院。
盡管精神上的壓力是巨大的，但康托爾并未停止研究。在希爾伯特等20世紀的數學大家的支持和幫助下，康托爾證明了他的集合理論是對的。而且在1900年召開的數學家大會上，希爾伯特將康托爾的“連續統假設”問題立為23個問題之首。再經過一個多世紀的發展，集合論已經成為了整個數學的基礎。暫時，實無窮處于上風，但爭論仍在繼續。
