什么是實數？這個問題對于任何一個學過初中數學的同學都不難回答：實數即是有理數與無理數的統稱.但問題是，無理數只不過意味著“不是有理數”，我們沒有定義這些數的真正含義.
事實上，人類對于實數的認識過程并不是那么容易，今天我們就來和大家聊一聊實數——這個我們熟悉又陌生的老朋友.
1 無理數的發現
在兩千五百年前，畢達哥拉斯學派便提出“萬物皆數”.畢達哥拉斯和他的門徒們認為世界上的所有事物均可以用整數亦或是整數之比（實際上就是有理數）表示.實際上，根據我們對數字天然的直覺和經驗，有理數貌似在數軸上已然是“稠密的”，比如我們在數軸上任意選擇兩相異有理數P，Q，都可以構造出線段的中點R，其中
因為P，Q都是有理數，則R顯然也是一個有理數.然后我們可以依此類推，取更多的中點，這樣似乎總是能將線段PQ上的點取遍，從而“鋪滿”整個數軸.
然而，可惜的是，一個人人都能夠理解的幾何事實便無情地撼動了畢達哥拉斯學派的信仰基礎.
畢達哥拉斯的學生希帕索斯發現正方形對角線與邊長為不可公度量（用今天的數學語言來說，即是無法寫成兩個互素整數之比p/q）.的發現直接推翻了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的信條.
有理數“有道理”，無理數“沒道理”嗎？
2 有理數中的“縫隙”
我們已經知曉了“”這一事實，換句話說，有理數并不能“鋪滿”整個數軸，Q在數軸上留下了許許多多的“縫隙”，這與我們對數字的直覺是矛盾的.實際上我們可以進一步通過嚴密的數學邏輯證明如下命題：
“
（Q存在“縫隙”）存在沒有最小元素的有理數的子集，也存在沒有最大元素的有理數的子集.
證明：我們令
這其實就等價于
即集合A的元素為所有小于的有理數，集合B的元素為所有大于等于的有理數.
并且，顯然我們發現
直觀來看，這就相當于對數軸上的所有有理數以為分界“切了一刀”，左邊是A，右邊是B.
我們任取且p>0，再令
接下來神奇的事將會出現！因為此時
這里我們分情況討論：
如果，則，上述兩個式子說明p-q>0且，這就意味著此時q是一個比p更大的且在集合A中的有理數.
如果，則，但又因為對任意有理數p都有，則，故上述兩個式子說明q-p<0且，這就意味著此時q是一個比p更小的且在集合B中的有理數.
綜上所述，A中沒有最大的有理數，B中沒有最小的有理數.上述例子說明Q雖然“稠密”，但仍然有“縫隙”，用更嚴謹的數學語言來說，這些“縫隙”使得Q缺少了上確界這一特殊性質.
3 戴德金分割
為了填滿Q中的這些“縫隙”，我們可以從Q出發，延用上面“分割”的想法來定義實數，這個天才的想法來自于德國近代數學家戴德金，他被譽為近代抽象數學的先驅，在實數和連續性理論方面提出了著名的“戴德金分割”.
戴德金（1831-1916）
戴德金注意到，對于任意一個有理數x0，如果令
則A,B一定滿足
且A沒有最大元素，B有最小元素x0.
這就說明，任何一個有理數都唯一對應了這樣一種分割(A,B).
有理數自然產生了無窮多個分割.但是，如果我們考慮A沒有最大元素，也沒有最小元素的情形，就和上述的例子類似了，戴德金在其著作中這樣描述:
“
但不管什么時候我們都必須處理非有理數產生的一個分割(A,B)，這樣，我們就構造出了一個新數，并且是無理數，我們認為它完全可以由(A,B)這個分割來定義；我們會說數x0對應于這個分割，或者說它產生了這個分割.
這種分割就定義了一個無理數，或者說這個分割就是一個無理數.這是因為我們相當于在全部有理數集Q中定義了一個確定的分割，A,B兩個集合從直觀上來看趨于“相交”，為使這個兩個集合“相交”，這個分割必須用某個“數”填充起來，由上述討論可知，這個數不可能用有理數來填充，或者說不可能與有理數相對應.
因此，全部可能的分割組成了數軸上包括有理數和無理數的每一個點，統稱為實數.這即是實數的（其中一種）嚴格定義.
我們不得不佩服戴德金天馬行空的構想，戴德金的導師高斯有一句名言：
“
數只是我們心靈的產物.
戴德金對此非常贊同，并在其一生的數學研究中踐行這一理念，他認為數是人類心靈的自由創造.后世包括希爾伯特、艾米·諾特在內的眾多數學家都繼承了他的思想衣缽.
參考文獻
[1]Rudin.數學分析原理[M].機械工業出版社,2004.
[2]王淑紅,孫小淳.心靈的創造:戴德金的數學思想[J].自然辯證法通訊,2019,41(02):115-122.DOI:10.15994/j.1000-0763.2019.02.018.
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來源：大小吳的數學課堂
編輯：利有攸往
