本講為七下第一講,重點(diǎn)對(duì)平行的判定和性質(zhì)做一個(gè)歸納.
一、知識(shí)梳理
1、三線八角
直線AB,CD被直線EF所截,形成了8個(gè)角,其中,
同位角有:∠1與∠5,∠2與∠6,
∠3與∠7,∠4與∠8;
內(nèi)錯(cuò)角有: ∠3與∠5,∠4與∠6;
同旁內(nèi)角有:∠3與∠6,∠4與∠5;
2、三種角的認(rèn)識(shí)方法
3、平行線的判定方法書寫
(1)∵∠1=∠2(已知)
∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行)
(2)∵∠3=∠2(已知)
∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
(3)∵∠2+∠4=180°(已知)
∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)
4、平行線的性質(zhì)書寫
(1)∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等)
(2)∵AB∥CD(已知)
∴∠3=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
(3)∵AB∥CD(已知)
∴∠2+∠4=180°(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)
二、幾個(gè)訣竅
01
找準(zhǔn)截線
例1:
如圖,填空:
(1)找出∠B的所有同位角,并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的.
(2)∠4和∠5是同位角嗎?如果是,說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的,如果不是,請(qǐng)說明理由.
(3)找出其余的同位角.
(4)找出所有的內(nèi)錯(cuò)角,并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的.
(5)找出∠A的所有同旁內(nèi)角,并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的.
分析:
兩條直線被第三條直線所截,要找同位角,內(nèi)錯(cuò)角,同旁內(nèi)角,關(guān)鍵在于,找兩個(gè)角的共線邊!
通常,共線邊所在直線就是截線,那么剩下的兩條邊所在直線就是被截直線.
(1)要找∠B的同位角,則關(guān)注它的兩條邊,BG,BA,則可以任選一條作為截線,如選BG為截線,則過BG上的點(diǎn)F,點(diǎn)C的直線FD,CE就可作為被截直線,同理,如選BA為截線,則過BA上的點(diǎn)D的直線DE,DF就可作為被截直線,則四個(gè)同位角很快可以確定.
(2)兩個(gè)角若是同位角,首先要滿足組成這兩個(gè)角的邊,有一條是共線邊,即一眼看去,只能有“三線”.
(3)(4)(5),注意圖中一共有幾個(gè)角,數(shù)字標(biāo)注的有9個(gè),單獨(dú)字母標(biāo)注的有2個(gè),還有兩個(gè)是組合角∠ADF,∠BDE,一共13個(gè)角,一個(gè)一個(gè)數(shù),做到不重不漏.
解答:
(1)∠B和∠1是直線BG和直線DE被直線AB所截形成的同位角.
∠B和∠ADF是直線BG和直線DF被直線AB所截形成的同位角.
∠B和∠6是直線BA和直線FD被直線BG所截形成的同位角.
∠B和∠9是直線BA和直線CE被直線BG所截形成的同位角.
(2)不是,∠4的兩條邊是BD,DF,∠5的兩條邊是DE,EC,不滿足三線,不是同位角.
(3)∠A和∠4,∠A和∠BDE,∠A和∠5,∠2和∠8,∠6和∠9,∠7和∠8.
(4)∠A和∠9是直線BA和直線CG被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠1和∠5是直線AD和直線CE被直線BE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠2和∠3是直線AE和直線DF被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠2和∠BDE是直線AE和直線BD被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠3和∠7是直線DE和直線BF被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠4和∠6是直線BD和直線FG被直線BF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠5和∠9是直線DE和直線CG被直線CE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
∠7和∠ADF是直線BF和直線AD被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角.
(5)∠A和∠1是直線AE和直線DE被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角.
∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角.
∠A和∠ADF是直線AC和直線DF被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角.
∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角.
∠A和∠8是直線AD和直線CF被直線AC所截形成的同旁內(nèi)角.
∠A和∠B是直線AC和直線BC被直線AB所截形成的同旁內(nèi)角.
例2:
如圖所示,BE是AB的延長線,量得
∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A,可得____∥____,
根據(jù)是_____________________.
(2)由∠CBE=∠C,可得____∥____,
根據(jù)是_____________________.
(3)由∠CBA+∠C=180°,
可得____∥____,
根據(jù)是_______________________.
(4)由∠CBA+∠A=180°,
可得____∥____,
根據(jù)是_______________________.
分析:
對(duì)于這種看似是平行四邊形背景的題目,大家非常容易錯(cuò),這里給出了角的條件,我們就可以馬上找到共線邊,作為截線,兩個(gè)角的另外兩條邊作為被截直線,就是平行線.
如∠CBE=∠A,發(fā)現(xiàn)它們的共線邊是AE,則AE就是截線,兩條被截直線AD,CD平行.
解答:
(1) CB∥DA,同位角相等,兩直線平行
(2) CD∥AB,內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行
(3) CD∥AB,同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行
(4) CB∥DA,同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行
02
找準(zhǔn)被截截線
例3:
如圖,AB∥EF∥CD,EG∥BD,則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )
A.6個(gè) B.5個(gè)
C.4個(gè) D.3個(gè)
分析:
有了平行,其實(shí)就有了2條被截直線,這樣,再去找截線,就能找到另外的角.
AB∥EF,則AB,EF為被截直線,EG為截線,找到∠1的內(nèi)錯(cuò)角∠2.EG∥BD,則EG,BD為被截直線,EH,BG可為截線,找到∠1的同位角∠5,∠2的內(nèi)錯(cuò)角∠3,AB∥CD,AB,CD可為截線,找到∠5的內(nèi)錯(cuò)角∠6,別忘了∠3的對(duì)頂角,∠4.
解答:B
例4:
如圖,
若AC∥EF,則∠A+∠______=180°,
∠______+∠______= 180°.
若∠2=∠______ ,則AE∥BF.
若∠A+∠______=180°,
或∠______+∠______=180°,則AE∥BF.
分析:
由兩直線平行,可知被截直線,然后再確定截線,問題迎刃而解.有時(shí),截線不止一條.AC∥EF,又明確∠A,則截線必然經(jīng)過點(diǎn)A,這里要找同旁內(nèi)角,則兩個(gè)角應(yīng)該在截線AE同旁.AE∥BF,又明確∠2,則則截線必然經(jīng)過點(diǎn)D,截線為EC,這里要找同位角.最后,確定截線為AB或EF即可秒解.
解答:
若AC∥EF,則∠A+∠AEF= 180°,
∠F+∠FBA= 180°.
若∠2 =∠4,則AE∥BF.
若∠A+∠ABF=180°,
或∠F+∠FEA=180°,
則AE∥BF.
03
格式規(guī)范選講
從本章起,我們真正進(jìn)入幾何證明的書寫,因此,格式必須規(guī)范.所以,我們來歸納一些常見的證明理由.
(1)平行線的判定和性質(zhì)(共6條,不再詳述)
(2)已知(寫在條件后)
(3)角平分線定義,垂直定義
(4)鄰補(bǔ)角定義(兩個(gè)相鄰的角和為180°),
平角定義(幾個(gè)相鄰的角的和為180°)
(5)等量代換
(∠1=∠2,∠2=∠3,則∠1=∠3)
(6)等式性質(zhì)
(∠1=∠2,∠3=∠4,則∠1-∠3=∠2-∠4)
(7)同角的余角(補(bǔ)角)相等
(∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,則∠1=∠3)
(8)平行于同一直線的兩直線平行
(a∥b,b∥c,則a∥c)
其中,(5)(8)有些同學(xué)易混淆,前者是數(shù)量關(guān)系,后者是位置關(guān)系,要分清.(5)(7)也要注意,∠2是中間角,前者和∠1,∠3都相等,后者和∠1,∠3都互余(互補(bǔ)),是不一樣的.
(4)中,鄰補(bǔ)角是針對(duì)兩個(gè)角,平角可以由幾個(gè)角的和組成.
我們來看2個(gè)例題,學(xué)會(huì)寫證明的幾何語言.
例5:
如圖,點(diǎn)B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,射線CF與BD平行嗎?用兩種方法說明理由.
分析:
要證CF∥BD,則要找相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角,或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角,我們發(fā)現(xiàn)截線只能是BC,則只能利用同位角∠2和∠C,或同旁內(nèi)角∠DBC和∠C.
解答:
法1
∵BD⊥BE(已知)
∴∠DBE=90°(垂直定義)
∴∠1+∠2=180°-∠DBE=90°(平角定義)
∵∠1+∠C=90°(已知)
∴∠2=∠C(同角的余角相等)
∴CF∥BD(同位角相等,兩直線平行)
法2:
∵BD⊥BE(已知)
∴∠DBE=90°(垂直定義)
∵∠1+∠C=90°(已知)
∴∠1+∠2+∠DBE =90°+90°=180°(等式性質(zhì))
即∠DBC+∠C=180°
∴CF∥BD(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)
例6:
如圖,AC平分∠BAD,∠ACB=∠BAC,∠D=90°,EF⊥CD,試說明BC∥EF.
分析:
由∠D=90°,EF⊥CD,可證AD∥EF,則再證AD∥BC,利用平行的傳遞性即可得證.
解答:
∵AC平分∠BAD(已知)
∴∠1=∠3(角平分線定義)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3(等量代換)
∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
∵EF⊥CD(已知)
∴∠4=90°=∠D(垂直定義)
∴AD∥EF(同位角相等,兩直線平行)
∴BC∥EF(平行于同一直線的兩直線平行)