本講為七下第一講，重點(diǎn)對(duì)平行的判定和性質(zhì)做一個(gè)歸納．

一、知識(shí)梳理

1、三線八角

直線AB，CD被直線EF所截，形成了8個(gè)角，其中，

同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，

∠3與∠7，∠4與∠8；

內(nèi)錯(cuò)角有： ∠3與∠5，∠4與∠6；

同旁內(nèi)角有：∠3與∠6，∠4與∠5；

2、三種角的認(rèn)識(shí)方法

3、平行線的判定方法書寫

(1)∵∠1＝∠2（已知）

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

(2)∵∠3＝∠2（已知）

∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

(3)∵∠2＋∠4＝180°（已知）

∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

4、平行線的性質(zhì)書寫

(1)∵AB∥CD（已知）

∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等）

(2)∵AB∥CD（已知）

∴∠3＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

(3)∵AB∥CD（已知）

∴∠2＋∠4＝180°（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

二、幾個(gè)訣竅

01

找準(zhǔn)截線

例1：

如圖，填空：

(1)找出∠B的所有同位角，并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

(2)∠4和∠5是同位角嗎？如果是，說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的，如果不是，請(qǐng)說明理由．

(3)找出其余的同位角．

(4)找出所有的內(nèi)錯(cuò)角，并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

(5)找出∠A的所有同旁內(nèi)角，并說明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

分析：

兩條直線被第三條直線所截，要找同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，關(guān)鍵在于，找兩個(gè)角的共線邊！

通常，共線邊所在直線就是截線，那么剩下的兩條邊所在直線就是被截直線．

(1)要找∠B的同位角，則關(guān)注它的兩條邊，BG，BA，則可以任選一條作為截線，如選BG為截線，則過BG上的點(diǎn)F，點(diǎn)C的直線FD，CE就可作為被截直線，同理，如選BA為截線，則過BA上的點(diǎn)D的直線DE，DF就可作為被截直線，則四個(gè)同位角很快可以確定．

(2)兩個(gè)角若是同位角，首先要滿足組成這兩個(gè)角的邊，有一條是共線邊，即一眼看去，只能有“三線”．

(3)(4)(5)，注意圖中一共有幾個(gè)角，數(shù)字標(biāo)注的有9個(gè)，單獨(dú)字母標(biāo)注的有2個(gè)，還有兩個(gè)是組合角∠ADF，∠BDE，一共13個(gè)角，一個(gè)一個(gè)數(shù)，做到不重不漏．

解答：

(1)∠B和∠1是直線BG和直線DE被直線AB所截形成的同位角．

∠B和∠ADF是直線BG和直線DF被直線AB所截形成的同位角．

∠B和∠6是直線BA和直線FD被直線BG所截形成的同位角．

∠B和∠9是直線BA和直線CE被直線BG所截形成的同位角．

(2)不是，∠4的兩條邊是BD，DF，∠5的兩條邊是DE，EC，不滿足三線，不是同位角．

(3)∠A和∠4，∠A和∠BDE，∠A和∠5，∠2和∠8，∠6和∠9，∠7和∠8．

(4)∠A和∠9是直線BA和直線CG被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠1和∠5是直線AD和直線CE被直線BE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠2和∠3是直線AE和直線DF被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠2和∠BDE是直線AE和直線BD被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠3和∠7是直線DE和直線BF被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠4和∠6是直線BD和直線FG被直線BF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠5和∠9是直線DE和直線CG被直線CE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠7和∠ADF是直線BF和直線AD被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

(5)∠A和∠1是直線AE和直線DE被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠ADF是直線AC和直線DF被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠8是直線AD和直線CF被直線AC所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠B是直線AC和直線BC被直線AB所截形成的同旁內(nèi)角．

例2：

如圖所示，BE是AB的延長線，量得

∠CBE＝∠A＝∠C.

(1)由∠CBE＝∠A，可得____∥____，

根據(jù)是_____________________.

(2)由∠CBE＝∠C，可得____∥____，

根據(jù)是_____________________.

(3)由∠CBA＋∠C＝180°，

可得____∥____，

根據(jù)是_______________________.

(4)由∠CBA＋∠A＝180°，

可得____∥____，

根據(jù)是_______________________.

分析：

對(duì)于這種看似是平行四邊形背景的題目，大家非常容易錯(cuò)，這里給出了角的條件，我們就可以馬上找到共線邊，作為截線，兩個(gè)角的另外兩條邊作為被截直線，就是平行線．

如∠CBE＝∠A，發(fā)現(xiàn)它們的共線邊是AE，則AE就是截線，兩條被截直線AD，CD平行．

解答：

(1) CB∥DA，同位角相等，兩直線平行

(2) CD∥AB，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

(3) CD∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

(4) CB∥DA，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

02

找準(zhǔn)被截截線

例3：

如圖，AB∥EF∥CD，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )

A．6個(gè) B．5個(gè)

C．4個(gè) D．3個(gè)

分析：

有了平行，其實(shí)就有了2條被截直線，這樣，再去找截線，就能找到另外的角．

AB∥EF，則AB，EF為被截直線，EG為截線，找到∠1的內(nèi)錯(cuò)角∠2．EG∥BD，則EG，BD為被截直線，EH，BG可為截線，找到∠1的同位角∠5，∠2的內(nèi)錯(cuò)角∠3，AB∥CD，AB，CD可為截線，找到∠5的內(nèi)錯(cuò)角∠6，別忘了∠3的對(duì)頂角，∠4．

解答：B

例4：

如圖，

若AC∥EF，則∠A＋∠______＝180°，

∠______＋∠______＝ 180°．

若∠2＝∠______ ，則AE∥BF．

若∠A＋∠______＝180°，

或∠______＋∠______＝180°，則AE∥BF．

分析：

由兩直線平行，可知被截直線，然后再確定截線，問題迎刃而解．有時(shí)，截線不止一條．AC∥EF，又明確∠A，則截線必然經(jīng)過點(diǎn)A，這里要找同旁內(nèi)角，則兩個(gè)角應(yīng)該在截線AE同旁．AE∥BF，又明確∠2，則則截線必然經(jīng)過點(diǎn)D，截線為EC，這里要找同位角．最后，確定截線為AB或EF即可秒解．

解答：

若AC∥EF，則∠A＋∠AEF＝ 180°，

∠F＋∠FBA＝ 180°．

若∠2 ＝∠4，則AE∥BF．

若∠A＋∠ABF＝180°，

或∠F＋∠FEA＝180°，

則AE∥BF．

03

格式規(guī)范選講

從本章起，我們真正進(jìn)入幾何證明的書寫，因此，格式必須規(guī)范．所以，我們來歸納一些常見的證明理由．

(1)平行線的判定和性質(zhì)(共6條，不再詳述)

(2)已知(寫在條件后)

(3)角平分線定義，垂直定義

(4)鄰補(bǔ)角定義(兩個(gè)相鄰的角和為180°)，

平角定義(幾個(gè)相鄰的角的和為180°)

(5)等量代換

(∠1＝∠2，∠2＝∠3，則∠1＝∠3)

(6)等式性質(zhì)

(∠1＝∠2，∠3＝∠4，則∠1－∠3＝∠2－∠4）

(7)同角的余角(補(bǔ)角)相等

(∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，則∠1＝∠3)

(8)平行于同一直線的兩直線平行

(a∥b，b∥c，則a∥c)

其中，(5)(8)有些同學(xué)易混淆，前者是數(shù)量關(guān)系，后者是位置關(guān)系，要分清．(5)(7)也要注意，∠2是中間角，前者和∠1，∠3都相等，后者和∠1，∠3都互余(互補(bǔ))，是不一樣的．

(4)中，鄰補(bǔ)角是針對(duì)兩個(gè)角，平角可以由幾個(gè)角的和組成．

我們來看2個(gè)例題，學(xué)會(huì)寫證明的幾何語言．

例5：

如圖，點(diǎn)B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，射線CF與BD平行嗎？用兩種方法說明理由．

分析：

要證CF∥BD，則要找相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角，或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角，我們發(fā)現(xiàn)截線只能是BC，則只能利用同位角∠2和∠C，或同旁內(nèi)角∠DBC和∠C．

解答：

法1

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定義)

∴∠1＋∠2＝180°－∠DBE＝90°(平角定義)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠2＝∠C(同角的余角相等)

∴CF∥BD(同位角相等，兩直線平行)

法2：

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定義)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠1＋∠2＋∠DBE ＝90°＋90°＝180°(等式性質(zhì))

即∠DBC＋∠C＝180°

∴CF∥BD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

例6：

如圖，AC平分∠BAD，∠ACB＝∠BAC，∠D＝90°，EF⊥CD，試說明BC∥EF.

分析：

由∠D＝90°，EF⊥CD，可證AD∥EF，則再證AD∥BC，利用平行的傳遞性即可得證．

解答：

∵AC平分∠BAD(已知)

∴∠1＝∠3(角平分線定義)

∵∠1＝∠2(已知)

∴∠2＝∠3(等量代換)

∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

∵EF⊥CD(已知)

∴∠4＝90°＝∠D(垂直定義)

∴AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)

∴BC∥EF(平行于同一直線的兩直線平行)