垂直平分線是初中數學會接觸到的一個知識點，并且很多幾何題都會涉及到垂直平分線。所以極客數學幫今天就為大家總結了關于垂直平分線的相關知識點和經典例題解析，后面還有垂直平分線的相關練習題。一起來看看吧。
定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
垂直平分線的性質
1.垂直平分線垂直且平分其所在線段。
2.垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等。
3.如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
4.線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 。
逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
5.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相 等。(此時以外心為圓心，外心到頂點的長度為半徑，所作的圓為此三角形的外接圓。)
垂直平分線的逆定理
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
注意：要證明一條線為一個線段的垂直平分線，應證明兩個點到這條線段的距離相等且這兩個點都在要求證的直線上才可以證明
通常來說，垂直平分線會與全等三角形來使用。
垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。
巧記方法：點到線段兩端距離相等。
可以通過全等三角形證明。
垂直平分線的尺規作法
方法之一：(用圓規作圖)
1、在線段的中心找到這條線段的中點通過這個點做這條線段的垂線段。
2、分別以線段的兩個端點為圓心，以大于線段的二分之一長度為半徑畫弧線。得到兩個交點(兩交點交與線段的同側)。
3、連接這兩個交點。
原理：等腰三角形的高垂直平分底邊。
方法之二：
1、連接這兩個交點。原理：兩點成一線。
等腰三角形的性質：
1、三線合一 ( 等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合。 )
2、等角對等邊(如果一個三角形，有兩個內角相等，那么它一定有兩條邊相等。)
3、等邊對等角(在同一三角形中，如果兩個角相等，即對應的邊也相等。)
垂直平分線的判定
①利用定義.
②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.(即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合)
經典例題講解
例1．如圖，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.
求證：D在AB的垂直平分線上.
分析：根據線段垂直平分線的逆定理，欲證D在AB的垂直平分線上，只需證明BD=DA即可.
證明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），
∴∠ABC=60°（Rt△的兩個銳角互余）
又∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A
∴BD=AD（等角對等邊）
∴D在AB的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.
例2．如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F。
求證：CF=2BF。
分析：由于∠BAC=120°，AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又因為EF垂直平分AB，連結AF，可得AF=BF. 要證CF=2BF，只需證CF=2AF，即證 ∠FAC=90°就可以了.
證明：連結AF，
∵EF垂直平分AB（已知）
∴FA=FB（線段垂直平分線上的點和這條線段兩端點的距離相等）
∴∠FAB=∠B（等邊對等角）
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等邊對等角）
又∵∠BAC=120°（已知），
∴∠B=∠C=30°（三角形內角和定理）
∴∠BAF=30°
∴∠FAC=90°
∴FC=2FA（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∴FC=2FB
說明：線段的垂直平分線的定理與逆定理都由三角形的全等證得，初學者往往不習慣直接使用絕無僅有垂直平分線的定理與逆定理，容易舍近求遠，由三角形全等來證題.
例3．如圖，已知：AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延長線于F，連結AF。
求證：∠B=∠CAF。
分析：∠B與∠CAF不在同一個三角形中，又∵∠B，∠CAF所在的兩個三角形不全等，所以欲證∠B=∠CAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性質. 那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此∠FAD=∠ADF，又因為 ∠CAF=∠FAD-∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以可證明∠CAF=∠B.
證明：∵EF垂直平分AD（已知），
∴FA=FD（線段垂直平分線上的點和這條線段的兩端點的距離相等）.
∴∠FAD=∠ADF（等邊對等角）
∵∠B=∠ADF-∠BAD（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），∠CAF=∠FAD-∠CAD，
又∠CAD=∠BAD（角平分線定義），
∴∠B=∠CAF .
說明：運用線段的垂直平分線的定理或逆定理，能使問題簡化，如本例題中，EF垂直平分AD，可以直接有結論FA=FD，不必再去證明兩個三角形全等.
例4．如圖，已知直線l和點A，點B，在直線l上求作一點P，使PA=PB.
分析：假設P點已經作出，則由PA=PB，那么根據“到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”可知，點P在線段AB的垂直平分線上. 而點P又在直線l上，則點P應是AB的垂直平分線與垂線l的交點。
作法：1．連結AB.
2．作線段AB的垂直平分線，交直線l于點P.則P即為所求的點.
說明：在求作一個點時，要考慮該點具備什么樣的特點，如它到一條線段的兩個端點距離相等，它就在連結這兩點的線段的垂直平分線上，如果它到一個角的兩邊的距離相等，它就在這個角的平分線上.
看完了垂直平分線的相關知識點和例題，我們來做一下有關于垂直平分線的練習題。
以上就是極客數學幫為大家整理的有關垂直平分線的全部內容了。
