天元術是利用"元"這個字表示未知數列方程的一般方法，與現在代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同，源于我大中國宋元時期的天元術。具體地說它首先要"立天元一為某某"，相當于"設x為某某"，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然后，通過類似合并同類項的過程，得出一個一端為零的方程。
天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，則是至16世紀才做到這一點。
01天元術產生的淵源
天元術產生的直接淵源，是道教的"天元"思想。首先，天元術淵源金元時期的山西、河北、山東一帶，正是金元道教發展的活躍地區；其次，從天元術的主要貢獻者李冶的生平事跡來看，其數學思想直接傳承于道門隱士。
我國古代歷史悠久，特別是數學成就更是十分輝煌，在民間流傳著許多趣味數學題，一般都是以朗朗上口的詩歌形式表達出來。其中就有許多方程題。比如有一首詩問周瑜的年齡：
大江東去浪淘盡，千古風流數人物。
而立之年督東吳，早逝英年兩位數。
十比個位正小三，個位六倍與壽符。
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
依題意得周瑜的年齡是兩位數，而且個位數字比十位數字大3，若設十位數字為x，則個位數字為（x 3），由"個位6倍與壽符"可列方程得：6（x 3）=10x （x 3），解得x=3，所以周瑜的年齡為36歲。這些古代方程題非常有趣，普及了數學知識，激發了人們的數學思維。
在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代著名數學家王孝通撰寫的《緝古算經》，首次提出三次方程式正根的解法，能解決工程建設中上下寬狹不一的計算問題，是對我國古代數學理論的卓越貢獻，比阿拉伯人早300多年，比歐洲早600多年。
02李冶促進天元術發展到相當成熟的新階段
隨著宋代數學研究的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對于列方程方法的研究，于是出現了我國數學的又一項杰出創造——天元術。
據史籍記載，金元之際已有一批有關天元術的著作，尤其是數學家李冶和朱世杰的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。
李冶所著《測圓海鏡》一書，標志著天元術的成熟，書中所發展的天元術理論和數學思想，對宋元數學的長足進步有著重要意義。今人白尚恕先生曾歸納總結出李冶《測圓海鏡》在數學方面的十大貢獻：
第一，一個文字按其不同位置及系數以表示未知數的各次項，使得由文詞代數能順利地演變成符號代數。
第二，第二，對十進小數的表示法，與現今十進小數表示法，只差一個小數點。
第三，利用乘法消去分母，使分式化為整式。這種方法與現今分式方程的解法相一致。
第四，利用乘方消去根號，使根式化為有理式。這種方法與現今無理方程的解法相一致。
第五，創立升位法或降位法，對某些特殊方程在解法上提供了方便。
第六，在某種意義上，對整指數冪與負指數冪的理解，與現今的理解比較相近。
第七，在所列方程的次數上，比唐初王孝通時代有顯著的增高。
第八，所列方程突破了秦九韶"實常為負"的限制。
第九，對于籌式的寫法，給四元術提供了有利條件。
第十，在書末出現了文詞代數式的初步嘗試。
例如《測圓海鏡》卷二最后一題為例：
"或問：出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問城徑幾何？" 《測圓海鏡》全書共含170個問題，均圍繞"勾股容圓"而設，即都與直角三角形內切圓有關。這里，西門、北門是指圓城的西門、北門。
李冶給出的解題過程如下：
"立天元一為半徑。置南行步在地，內減天元半徑，得
為股圓差。又置乙東行步在地，內減天元，得下式
為勾圓差。以勾圓差增乘股圓差，得
為半段黃方冪，即城冪之半也。又置天元冪以倍之，得
亦為半段黃方冪。與左相消，得
如法開之，得半徑，合問。"
易于用今天的代數語言對上述解題過程作出解釋。如圖1，設圓城半徑為x，則
從李冶的天元術解題過程可見，多項式的寫法是：只列出各項系數，按冪的次數從低到高的順序，由下至上排列。一次項系數旁標一"元"字（有時也在常數項旁標一"太"字），上面依次為二次項系數，三次項系數，等等，而下面為常數項。例如，圖2（采自《測圓海鏡》卷六）表示的就是三次多項式
方程總是化成右邊等于零的形式，因此只需寫出左邊的多項式；只不過此時不再出現"元"字，因為最下面一個數總是常數項，不會產生歧義。
可以說，李冶在數學專著《測圓海鏡》中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
《益古演段》則是李冶為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。他還著有《敬齋古今黈》、《敬齋文集》、《壁書叢削》、《泛說》等，前一種今有輯本12卷，后3種已失傳。
朱世杰的代表作《四元玉鑒》記載了他所創造的高次方程組的建立與求解方法，以及他在高階等差級數求和、高階內插法等方面的重要成就。
除李冶、朱世杰外，元代色目人學者贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方面的應用。
03朱世杰的四元術
李冶之后，天元術經二元術、三元術，到了元代朱世杰的《四元玉鑒》，進一步發展為四元術。"其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上"。朱世杰分別稱一元方程為"一氣混元"、二元方程為"兩儀化元"、三元方程為"三才運元"、四元方程為"四象會元"，汲取了天元術的思想方法，參照了線性方程組用算籌擺出的"矩陣"運算方法，創造出以"天"、"地"、"人"、"物"表示四個不同未知數的四元高次方程組的數值解法，成功解決了四元高次方程組的建立和求解問題，達到了宋元數學的最高成就。而從名稱來看，朱世杰的《四元玉鑒》天、地、人與物并列的四象會元方法，也極有可能受到道教思想的影響。
朱世杰所著《算學啟蒙》共3卷259問,內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。其中所給出的正負數乘除法則和完整的九歸除法口訣,為中國數學史上首次出現。該書流傳到朝鮮、日本等國，在我國一度失傳。1839年得到朝鮮翻刻本重新翻印流傳,后人多有注釋。
繼天元術之后，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，最后又由朱世杰創立了四元術。自從《九章算術》提出了多元一次聯立方程后，多少世紀沒有顯著的進步。
在列方程方面，蔣周的演段法為天元術做了準備工作，他已經具有尋找等值多項式的思想；洞淵馬與信道是天元術的先驅，但他們推導方程仍受幾何思維的束縛；李冶基本上擺脫了這種束縛，總結出一套固定的天元術程序，使天元術進入成熟階段。
在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負開方術求出四次方程正根，秦九韶在此基礎上解決了高次方程的數值解法問題。
至此，一元高次方程的建立和求解都已實現。
線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產生的條件。李德載的二元術和劉大鑒的三元術相繼出現，朱世杰集前人研究之大成，對二元術、三元術總結與提高，把"天元術"發展為"四元術"，建立了四元高次方程組理論。
朱世杰的
《四元玉鑒》共3卷288問， 內容包括高次方程組（最多可包括 4個未知數）的解法,高階等差級數求和,高次內插法等重要貢獻。朱世杰集前賢之大成,建立四元高次方程理論,稱之為"四元術"。他用天、 地、人、物表示四個未知數,相當于現在的x,y,z,u,把常數項放在中央 （記為"太"），各未知數的各次冪依次放在上下左右,而各未知數各次冪的兩兩乘積則置于平面的相應位置。書中還出現最早的多項式運算和多元高次方程組的解法。此外朱世杰將高階等差級數求和高次內插法進行了發展,實際上已得到任意高次差的招差公式，比西方同類結果早近400年。
《四元王鑒》被認為是中國數學著作中較重要的一部。也是整個中世紀最杰出的數學著作之一。朱世杰等人的工作在許多方面居世界前列,使中國古代數學發展到頂峰。其中有的例題相當復雜，數字驚人的龐大，不但過去從未有過，就是今天也很少見?？梢娭焓澜芤呀浄浅Ｊ炀毜卣莆樟硕嘣叽畏匠探M的解法。
"四元術"是多元高次方程組的建立和求解方法。用四元術解方程組，是將方程組的各項系數擺成一個方陣。
其中常數項右側仍記一"太"字，4個未知數一次項的系數分置于常數項的上下左右，高次項系數則按冪次逐一向外擴展，各行列交叉處分別表示相應未知數各次冪的乘積。
解這個用方陣表示的方程組時，要運用消元法，經過方程變換，逐步化成一個一元高次方程，再用增乘開方法求出正根。
從四元術的表示法來看，這種方陣形式不僅運算繁難，而且難以表示含有4個以上未知數的方程組，帶有很大的局限性。
我國代數學在四元術時期發展至巔峰，如果要再前進一步，那就需要另辟蹊徑了。后來，清代的代數學進展是通過汪萊等人對于方程理論的深入研究和引進西方數學這兩條途徑來實現的。
元代數學家朱世杰建立了四元高次方程組解法"四元術"，居于世界領先水平。在外國，多元方程組雖然也偶然在古代的民族中出現過，但較系統的研究卻遲至16世紀。
1559年法國人彪特才開始用A、B、C等來表示不同的未知數。過去不同未知數用同一符號來表示，以致含混不清。正式討論多元高次方程組已到18世紀，由探究高次代數曲線的交點個數而引起。
1100年法國人培祖提出用消去法的解法，這已在朱世杰之后四五百年了。
04 我們落伍了？應該思考的是什么
縱觀中國傳統數學的歷史發展和演變過程，作為中華民族光輝燦爛的古代科學文化的一個重要組成部分，它有著同西方數學截然不同的風格，表現出獨具一格的特色。
中國傳統數學內容的實用性，決定了它的知識體系采取"實際問題——計算方法"的有效格式。以算為主，不僅籌算不用運算符號，運算不保留中間過程，"大乘除皆不下照位，運籌如飛"，顯得格外省事，而且，一類問題的算法——"術"，往往被處理成一套套的計算程序，猶如當今電子計算機中的"程序語言"。
中國傳統數學自元末以后日漸衰微，其原因是多方面的。但是不可否認的是，中世紀中國數學為我們展現出古人的智慧，為后世提供了珍貴的參考價值。
《四元玉鑒》可以說是宋元數學的絕唱。元末以后，中國傳統數學驟轉衰落。整個明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產生出能與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學杰作，而且在清中葉乾嘉學派重新發掘研究以前，"天元術"、"四元術"這樣一些宋元數學的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達三百余年的時期內，除了珠算的發展及與之相關的著作(如程大位《算法統宗》，1592年)的出現，中國傳統數學研究不僅沒有新的創造，反而倒退了。
中國傳統數學自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫長的封建社會，在晚期表現出日趨嚴重的停滯性與腐朽性，數學發展缺乏社會動力和思想刺激。元代以后，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數學社會地位低下，研究數學者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。
同時，中國傳統數學本身也存在著弱點?；I算系統使用的十進位值記數制是對世界文明的一大貢獻，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內發展起來的半符號代數"天元術"與"四元術"，就不能突破籌算的限制演進為徹底的符號代數?；I式方程運算不僅笨拙累贅，而且對有五個以上未知量的方程組無能為力。另一方面，算法創造是數學進步的必要因素，但缺乏演繹論證的算法傾向與缺乏算法創造的演繹傾向同樣難以升華為現代數學。而無論是籌算數學還是演繹幾何，在中國的傳播都由于"天朝帝國"的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀，當近代數學在歐洲蓬勃興起以后，中國數學就更明顯地落后了。
參考文獻：1.林開亮，從楊輝三角到李善蘭垛積術；
2.杜石然等編著，《中國科學技術史稿》
