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作者 | 王至宏
廣州大學數學系
▎勾股定理
公元前1000多年，商高答周公曰：“勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。”故而，勾股定理又稱“商高定理”。
2002年數學家大會會標
從第一組勾股數發現至今，已過去3000多年。
對勾股數，你真的了解嗎？
會標上的勾股定理
舉個例子，請寫出所有包含12的勾股數。
經過計算，容易求出這四組
[5,12,13]
[9,12,15]
[12,16,20]
[12,35,37]
但包含12的勾股數只有這4組嗎？
此外，平時遇到的互素勾股數中，總有一個是4的倍數，且最大數與該數求和作差，結果都是平方數。
例如
[3,4,5]，5 4=32，5-4=12
[7,24,25]，25 24=72，25-24=12
[8,15,17]，17 8=52，17-8=32
[9,40,41]，41 40=92，41-40=12
是巧合還是一般規律？
如果有普遍的勾股數公式，這類命題就可以輕松論證了。
下邊就來說說，公式應該怎么求。
勾股樹
▎勾股數公式
早在古希臘時期，歐幾里得就已經給出了勾股數公式。
而公式的證明，用初中知識就足夠了。
很多時候，公式定理怎么得來，比怎么證明更加重要。
▎公式怎么求
公式的產生，有兩種方法最常見。
一、直覺
說到公式直覺，就不得不提到，印度一千年來最偉大的數學家——拉馬努金。
他沒受過正規的高等數學教育，沉迷數論，慣以直覺導出公式，不喜作證明（事后往往證明他是對的）。
他留下的那些沒有證明的公式，引發了后來的大量研究。
電影《知無涯者》
他有很強的直覺洞察力，雖未受過嚴格數學訓練，卻獨立發現了近3900個數學公式和命題。
拉馬努金恒等式
他經常宣稱在夢中娜瑪卡爾女神給其啟示，早晨醒來就能寫下不少數學公式和命題。他所預見的數學命題，日后有許多得到了證實。
——資料摘自百度百科
直覺是學識，閱歷，人生經歷等在一瞬間集合之后發生的反應。影響因素很多，通常還需要一萬小時的刻意練習。這里重點介紹尋找公式的第二種方法。
二、合情推理
那美女歸，林柳綠呀！（鈉鎂鋁硅，磷硫氯氬）
初高中挖空心思背的元素周期表，都要歸功于門捷列夫”玩”的一手好牌。
據說門捷列夫從小愛玩撲克牌，經常牌不離手。
有一回，他在撰寫《化學原理》時，遇到了難題。為了尋找元素的科學分類方法，不得不研究有關元素之間的內在聯系。
正在思考，請勿打擾
他埋頭在圖書館里夜以繼日地閱讀、思考，并琢磨出一套特殊的“撲克牌”來幫助尋找元素之間的規律。
有一天，門捷列夫又旁若無人地擺弄起“紙牌”來了，擺著，擺著，他像觸電似的站了起來，在他面前出現了完全沒有料到的現象，每一行元素的性質都是按照原子量的增大而從上到下地逐漸變化著。
這一天，元素周期律被發現了。
巧合往往受原理支配，合情推理就是透過巧合尋找原理的過程。
合情推理的大致過程
把勾股數放在一起會出現什么規律？
▎勾股規律
初中經常遇到這幾組勾股數，觀察規律：
信息預處理
其中c-b總為1或2，把差為2的勾股數同除以2，再重新排列
調整排列
這時，規律比較明顯了
a逐行增1，依次為：3,4,5,…
b相鄰行作差，差值增1：3.5,4.5,5.5,…
c與b類似
根據規律，正推和逆推，補充式子
新添的式子也都成立
猜想：按規律遞推下去，等式始終成立。
▎勾股公式
根據小學“找規律”題的套路，易得
于是
通過公式，可以生成無窮多勾股數，但未必可以生成所有勾股數。
猜想：公式[an,bn,cn]遍歷正整數，再同乘一個整數可以得到所有勾股數。
很快，就遇到了例外：
[20,21,29]不能由遞推式生成。
但如果n不取整數，令n=2.5
得
再同乘以8，也可以得到[20,21,29]
原公式有缺陷，需要改進，繼續觀察：
公式中，a為一次齊次函數，b和c為二次非齊次函數，缺少對稱美
把常數1改為變元m，增加公式的對稱性：
新公式中，abc均為二次齊次多項式
此時，新公式仍滿足勾股定理，實際上這就是我們要找的公式。即公式中，m，n跑遍正整數時，可跑遍所有互素勾股數。
P.S. 這是初二時做的探究，過程可能比較啰嗦，但剛好體現了合情推理的過程。
▎回到問題
得到勾股公式（未證），再回顧最開始的兩個問題。
-
互素勾股數[a,b,c]中，總有一個為4的倍數，不妨設為b，最大數為c，則c±b均為平方數。
求包含12的所有勾股數。
公式中
∵b，c為整數
∴m，n同奇偶且m<n
命題1：
①若m，n同為偶數，則4 | a
且此時[a,b,c]有公因子2。
②若m，n同為奇數
設m=2k 1,n=2t 1，則
又∵c-b=m2
c b=n2
即c±b為平方數，命題1成立。
命題2的一般形式是，求包含k的所有勾股數，在下篇的公式應用中再一并討論。
公式的證明及應用，下一篇再繼續討論吧。
* 本文作者王至宏，廣州大學數學系大四學生，好玩的數學實習作者。歡迎更多人加入到數學科普寫作的隊伍，好玩的數學給你一個展示才華的平臺。
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